Blog do Luís Cl@udio LA

Como Estrela na Terra - Toda Criança é Especial

2011-03-13T22:25:00.000-03:00

Prezados(as),

eu tenho que compartilhar com vocês isso. Eu vi esse filme indiano cujo título é: Como Estrela na Terra - Toda Criança é Especial e realmente gostei bastante. Acho que todo professor deveria ver esse filme. É realmente excelente.

A história (ou estória, como antigamente) fala de um garoto que não conseguia ler e escrevia muito mal, era mal comportado na escola e vivia repetindo o ano (3a série). Os professores e até mesmo os pais achavam que o garoto era "mal criado", vamos assim dizer, porque queria ser. Por fim a escola que ele estudava não mais quis o garoto como aluno e seus pais o matricularam em um colégio interno.

Bom, se quiser saber o final da história, veja você mesmo o filme. Por incrível que pareça eu o achei no YouTube em pedaços. Fiz uma lista de reprodução e disponibilizo a vocês logo a seguir.

Grande abraço

Luís Cláudio LA

Fazendo tarefas com filhos - (p.16 Ex 10 - Gelson Iezzi)

2011-02-06T21:28:00.008-02:00

[UF-MG] Considere $x$, $y$ e $z$ números naturais. Na divisão de $x$ por $y$, obtém-se quociente $z$ e resto 8. Sabe-se que a representação decimal de $\frac{x}{y}$ é a dízima periódica 7.363636... Então, o valor de $x+y+z$ é:
a) 190
b) 193
c) 191
d) 192

Solução:
Esse é um probleminha que para o aluno fazer em um vestibular, sem calculadora, poderia demorar um pouco (ou bastante). Se alguém conhecer uma outra solução, nos avise.

Vamos aos dados do problema. Primeiro: $x$, $y$ e $z$ são números naturais (isso é importante); e mais

Na divisão de $x$ por $y$, obtém-se quociente $z$ e resto 8

Ficará mais fácil se você escrever esta informação usando o algoritmo de Euclides a saber

x |_y__
8 z

Desta relação sabemos que $z.y+8=x$. Vamos chamar essa igualdade de (eq1). Vejamos sobre o outro dado:

a representação decimal de $\frac{x}{y}$ é a dízima periódica 7,363636...

Penso que o primeiro a fazer é encontrar a fração geratriz dessa dízima periódica. Não vejo maiores problemas nisso. Encontrará que

$$7,363636... = \frac{81}{11}$$

Abusando um pouco de notação e fazendo como se faz lá no Ensino Fundamental e Médio encontrar a geratriz seria algo assim:

$$g\;\;=\;\;\;7,363636...$$

$$100g=736,363636$$

Subtraindo as duas igualdades ficaremos com:

$$99g=729$$

de onde vem que:

$$g=\frac{729}{99}=\frac{729\div 9}{99\div 9}=\frac{81}{11}$$

E assim, o enunciado traz a seguinte informação:

$$\frac{x}{y}=\frac{81}{11}$$

Chamaremos essa última igualdade de (Eq2). Temos (Eq1) e (Eq2) e o fato que $x$, $y$ e $z$ são números naturais para saber qual é o valor de $x+y+z$. Será preciso fazer algumas "mágicas" que poderá perguntar: mas por quê? Entretanto... Nada demais... Vamos lá...

Da (Eq1) temos que: $z.y+8=x$. Se dividirmos os dois membros desta equação por $y$ (que é positivo pois foi divisor de $x$ no enunciado do problema) ficaremos com:

$$\frac{z.y}{{\color{red}y}}+\frac{8}{{{\color{red}y}}}=\frac{x}{{\color{red}y}}$$

isto é,

$$z+\frac{8}{y}=\frac{x}{y}$$

Podemos deixar "z" isolado nesta última equação e teremos:

$$z=\frac{x}{y}-\frac{8}{y}$$

Chamremos esta equação de (Eq3). Recordemos agora que, da (Eq2), $$\frac{x}{y}=\frac{81}{11}$$ e substituindo na equação em (Eq3) ficaremos com:

$$z=\frac{81}{11}-\frac{8}{y}$$

Chamaremos esta equação de (Eq4). Vamos guardá-la por momento. O exercício quer saber qual é o valor de $x+y+z$. Então, vamos lá...

$$x+y+z={\color{blue}\frac{y}{y}}(x+y+z)={\color{blue}y}\left(\frac{x}{{\color{blue}y}}+\frac{y}{{\color{blue}y}}+\frac{z}{{\color{blue}y}}\right)={\color{blue}y}\left({\color{red}\frac{x}{y}}+1+\frac{z}{y}\right)$$

e substituindo $${\color{red}\frac{x}{y}=\frac{81}{11}}$$ ficaremos com:

$$x+y+z={\color{blue}y}\left({\color{red}\frac{81}{11}}+1+\frac{z}{y}\right)$$

Fazendo as continhas com as frações ficaremos com:

$$x+y+z={\color{blue}y}\left(\frac{92}{11}+\frac{z}{y}\right)$$

Agora, distribuindo o ${\color{blue}y}$ ficaremos com:

$$x+y+z=\frac{92{\color{blue}y}}{11}+\frac{z.{\color{blue}y}}{y}$$

ou seja,

$$x+y+z=\frac{92y}{11}+{\color{blue}z}$$

e como sabemos, da (Eq4) que $${\color{blue}z=\frac{81}{11}-\frac{8}{y}}$$ então,

$$x+y+z=\frac{92y}{11}+{\color{blue}\frac{81}{11}-\frac{8}{y}}=\frac{92y+81}{11}-\frac{8}{y}$$

Nesse momento cabe algumas análises. A última expressão representa um número natural (pois é a soma de três números naturais a saber $x+y+z$). Então, eis o que poderia ocorrer:

$y$ poderia ser divisor de 8 e faz com que $92y+81$ seja múltiplo de 11.

Bom, sabemos que os divisores (naturais) de 8 são: D(8)={1,2,4,8}. O problema é que para nenhum desses valores de $y$ tem-se $92y+81$ sendo múltiplo de 11. Veja:

Se $y=1$ então $92y+81$ dará: 179 (que não é múltiplo de 11).
Se $y=2$ então $92y+81$ dará: 265 (que não é múltiplo de 11).
Se $y=4$ então $92y+81$ dará: 449 (que não é múltiplo de 11).
Se $y=8$ então $92y+81$ dará: 817 (que não é múltiplo de 11).

Bom, então o número procurado não está aí. Poderíamos pensar assim: o $y$ pode ser 11 e aí teríamos denominadores iguais, mas nesse caso, $$92y+81-8$$ deveria ser múltiplo de 11, mas isso não ocorre.

Se $y=11$ então $92y+81-8$ dará: 1085 (que não é múltiplo de 11).

Então, por momento, todas as nossas tentativas foram em vão. Vamos melhorar a escrita da expressão de $x+y+z$. Veja:

$$x+y+z=\frac{92y+81}{11}-\frac{8}{y}=\frac{92y^2+81y-88}{11y}$$

Agora, colocando $y$ em evidência ficaremos com:

$$x+y+z=\frac{92y+81}{11}-\frac{8}{y}=\frac{y.\left(92y+81-\frac{88}{y}\right)}{11y}$$

Cancelando o $y$ do numerador como $y$ do denominador ficaremos com:

$$x+y+z=\frac{92y+81-\frac{88}{y}}{11}$$

Agora precisamos procurar $y$ entre os divisores de $88$ e que faça com que a expressão: $92y+81-\frac{88}{y}$ seja um múltiplo de 11.

Os divisores de 88 são:

$$D(88)=\{1,2,4,8,11,22,44,88\}$$

Os números 1, 2, 4, 8 e 11 já testamos. Vamos para o próximo:

Se $y=22$ então $92y+81-\frac{88}{y}$ dará: 2101 (que É MÚLTIPLO de 11).

Eureka!!! Encontramos... Então, se y=22 então

$$x+y+z=\frac{2101}{11}=191$$.

Então, a soma dos três números é 191, ou seja a letra (c).

Simples, não? Bom, se você tiver uma solução que seja mais simples ainda, nos envie. Eu penso que deve haver uma solução mais simples pois foi um exercício de vestibular e alguém sem calculadora e com várias outras questões para fazer... Bom... Vamos ver se aparece algo mais simples.

Grande abraço

Luís Cláudio LA

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No dia seguinte...

Meus meninos voltaram da escola com a solução do professor. Confesso que para uma resolução em prova de vestibular a dele seria mais prática, embora em momento algum seja mostrado que esta é a única solução. Na resolução que fiz (e aqui eu estou puxando a sardinha para o meu lado) foi encontrado um conjunto onde $y$ deveria estar (os divisores de 88). É só testar aqueles valores que verão que o único que serve é o $y=22$.

Entretanto, para vestibular, a forma que ele resolve é bem mais rápida. Veja só: o problema disse que $$z.y+8=x$$ e que $$\frac{x}{y}=\frac{81}{11}$$. São várias as possibilidades para $x$ e $y$.

Uma primeira possibilidade é $x=81$ e $y=11$, mas nesse caso, substituindo na equação $$z.y+8=x$$ encontraremos $$z=\frac{73}{11}$$ o que contraria o fato de $$z\in \mathbb{N}$$.

Como segunda possibilidade foi considerado $x=162$ e $y=22$. Note que nesse caso tem-se ainda

$$\frac{x}{y}=\frac{162{\color{red}\div 2}}{22{\color{red}\div 2}}=\frac{81}{11}$$

Nesse caso, ao substituir esses valores de $x=162$ e $y=22$ na equação $$z.y+8=x$$ encontrará $z=7$ e... EUREKA... $z\in \mathbb{N}$ e assim,

$$x+y+z=162+22+7=191$$

Entretanto, quem garante que se continuar com esse procecimento, ou seja, multiplicar o numerador e o denominador por consecutivos números naturais, em algum momento não poderia encontrar um outro número natural $$z$$ que satisfizesse a equação $$z.y+8=x$$?

Bom, fica aí uma outra solução.

Grande abraço

Luís Cláudio LA

Fazendo tarefas com filhos - (p.16 Ex 3 - Gelson Iezzi)

2011-02-06T19:27:00.003-02:00

[UF-MG] Seja N o menor número inteiro pelo qual se deve multiplicar 2 520 para que o resultaso dejs o quadrado de um número natural. Então, a soma dos algarismos de N é:
a) 9
b) 7
c) 8
d) 10

Solução:

O problema diz que $N= 2 520$. Decompondo em fatores primos encontramos $N=2^3\times 3^2 \times 5\times 7$ Agora, precisamos fazer com que esse número seja um quadrado perfeito. Para isso, basta colocar os fatores que faltam para que isso aconteça. Os expoentes devem ser múltiplos de 2, correto? Assim precisamos fazer assim:

$$2^3{\color{red}\times 2}\times 3^2 \times 5{\color{red}\times 5}\times 7{\color{red}\times 7}=2^4\times 3^2\times 5^2 \times 7^2=(2^2\times 3\times 5\times 7)^2$$

O número formado pelo produto dos algarismos em vermelho é que faz com que o quadrado perfeito apareça. então esse número será:

$${\color{red}2\times 5\times 7= 70}$$

O exercícios pergunta qual é a soma dos algarismos desse número. Nesse caso é: 7+0=7.

Resposta: (b)

Fim de exercício.

Fazendo tarefas com filhos - (p.16 Ex 2 - Gelson Iezzi)

2011-02-06T18:59:00.017-02:00

[U.E. Londrina - PR] O caixa de um banco trocou a ordem dos dois algarismos do valor da conta a ser paga por um cliente, cobrando R$ 27,00 a mais. Sendo 11 a soma dos algarismos, o valor correto a ser pago pelo cliente era de

a) R$ 29,00
b) R$ 38,00
c) R$ 47,00
d) R$ 74,00
e) R$ 83,00

Solução:

O enunciado diz que o valor a ser pago era um valor com dois algarismos (1ª linha). Assim, seja $V_{pago}=xy$ o valor pago e $V_{correto}=yx$ representa o valor correto; $x$ e $y$ representam os algarismos dos valores pago e corretos (nesse caso o símbolo $xy$ não representa o produto dos números $x$ e $y$ e sim um número composto pelos algarismos $x$ e $y$.

O enunciado disse $V_{pago}=V_{correto}+27$ e que $x+y=11$. Daí, como

$V_{pago}=xy=10x+y$ e $V_{correto}=yx=10y+x$

da relação anterior podemos escrever então que:

$V_{pago}=V_{correto}+27$

ou seja,

$$\underbrace{10x + y}_{V_{pago}} = \underbrace{10y + x}_{V_{correto}}+27$$

$$9x-9y=27$$

Esta última relação com o fato de $x+y=11$ nos levam a um sistema. Para resolver esse sistema, multiplique esta última equação por 9 e ficará com $9x+9y=99$. Observe que ficou agora com as seguintes equações:

$$9x-9y=27$$

$$9x+9y=99$$

Adicionando as duas equações chegará em: $18x=126$ de onde vem que $x=\frac{126}{18}=7$. Como $x+y=11$, então $y=4$. Voltando ao início da resolução ficamos com:

$$V_{pago}=xy=74$$ e $$V_{correto}=yx=47$$

Resposta correta: letra (c)

Fim de questão.

Linguagens e linguagens

2011-01-12T01:40:00.005-02:00

Observe a figura seguinte. O que ela diz a você?

Um pouco estranho, talvez... É comum pássaros em fios, mas... o que são aquelas coisas agarradas aos fios? Talvez essa seja melhor...

Que ler este post completo? Então Para ver o restante do post, clique em Mais informações » a seguir ou no link anterior.

Quem sabe o que significa os símbolos nessa próxima imagem? Ponto baixo? Ponto Alto? Correntinha?

E essa a seguir?

Acesse esta página: http://ja.wikipedia.org/wiki/ Consegue ler algum artigo? Do que falam?

E o que está escrito na imagem seguinte?

Entende o que está escrito? Por quê?

E o que tudo isso tem em comum? O que haveria em comum com matemática. Simples. Tudo o que viu foram diversos símbolos sendo usados para se transmitir alguma ideia/mensagem. Sabe o que é LINGUAGEM? (clique no link e veja a definição no dicionário Michaelis). A definição linguagem que cabe ao propósito deste post é: linguagem é qualquer meio que sirva para exprimir sensações ou idéias.

Nas duas primeiras imagens os símbolos são usados para representar um conjunto de notas musicais. Se você aprende a ler e escrever esses símbolos (eu não sei - ainda), então adquire automaticamente a faculdade de se comunicar nessa linguagem. Aqui vale a pena fazer um pequeno parêntese para falar da primeira imagem.

Um músico de nome Jarbas Agnelli da AD Studio viu uma foto de pássaros em fios da rede elétrica e como havia cinco fios, que é a quantidade de linhas de uma pauta musical e... Bom, talvez seja melhor você ver o próprio Jarbas Ganelli contar esta história. Confira no vídeo a seguir.

Agora, no vídeo seguinte poderá ver a música um pouco mais estendida e um resumo da história novamente. Sensacional...

Legal não? Bom, agora, vamos voltar ao assunto desta postagem que é a questão da linguagem. Eu sei, eu sei... Ouvir a música dos pássaros é melhor, mas... hehehe... Vamos lá. O vídeo você pode ver quantas vezes quiser.

A terceira imagem traz um conjunto de informações que eu não consigo ler, mas minha mãe, avó e provavelmente as mães e avós de você que lê este texto pode conseguir. Ela deve saber o que é ponto baixo, ponto alto e correntinha. Quem sabe ler o que está naqueles símbolos há uma grande possibilidade de saber fazer o que vê na figura seguinte.

A figura seguinte (as que apareceram no início) parece um conjunto de hieróglifos... Não sei bem... Não estou alfabetizado nesta linguagem e assim não sei o que está escrito lá, mas sei que há ali uma mensagem. A última imagem está escrita a palavra Google em Braille. A propósito, sobre Braille, penso que é interessante que todos saibam a história dessa linguagem e seu criador Louis Braille. Por que você não vê o vídeo/slide seguinte e entenda como ela surgiu. Observe que ela surge a partir de uma necessidade, assim como praticamente tudo o que temos foi desenvolvido a partir de uma necessidade.

Luz e escuridão

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Bom, matemática também é uma linguagem. Através dos diversos símbolos que usamos exprimimos e transmitimos ideias, resolvemos problemas e, por que não, evoluímos. Vou tentar ilustrar essa questão da linguagem matemática em um problema. Aproveitarei e falarei um pouco sobre como o imeditaismo do "professor, onde vou usar isso em meu dia-a-dia?" pode fazer com que muitos alunos não aprendam a linguagem matemática pelo simples fato de achar que não será útil a eles (em seu dia-a-dia).

Um problema simples

Suponha que tenha ido passar um final de semana na chácara de um amigo seu. Lá tem um muro. Seu anfitrião comprou 100 metros de uma tela para construir um cercado de tal forma que aproveite o muro existente. Ele quer também que a criação tenha o maior espaço possível, ou seja, quer que a área cercada seja máxima. Como resolveria esse problema?

Geralmente esta resolução de qualquer problema se dá, basicamente, em quatro passos ilustrados na figura seguinte.

Você poderia dar diversas soluções para esse problema como fazer um lado de 2 metros e 96 m de comprimento; poderia ser também 4 metros de largura e 92 metros de comprimento ou diversas outras configurações de largura e comprimento. Note que o formato desse cercado ficará muuuitooo comprido com essas medidas e talvez não seja o ideial para colocar lá alguma criação como galinhas, porcos ou outra qualquer. Como então resolver esse problema? Resolver o problema aqui é encontrar uma forma de fazer o cercado de tal forma que 100 metros de tela sejam usados aproveitando o muro já existente e de tal forma que a área seja máxima.

Estamos então diante do PROBLEMA REAL (veja a figura anterior). Em geral estamos diante de um problema no mundo real. Não esqueço a música dos pássaros. Precisamos levar esse problema para o mundo matemático. Costumamos chamar isso de "matematizar" o problema (Passo 1). Então, como fazer isso? Humm... Um modelo representativo da situação real pode ajudar. Um esboço ou desenho envolvendo os dados principais do problema, o que conhecemos e o que desejamos conhecer é interessante. Veja se a ilustração seguinte ajuda.

O que está marcado na cor azul-elétrico (essa cor quem me disse o nome dela foi o CorelDRAW, software que usei para construir as figuras usadas nesta postagem) é o que representa o cercado feito com a tela. Bom, como nosso anfitrião disse que havia comprado 100 metros de tela então o comprimento total da parte que está marcada em azul-elétrico deve ser 100, mas... Quanto deve medir cada lado? Hummmm... Esse é o problema. Eu não sei quanto mede nada. Só sei que tudo (comprimento da parte azul-elétrico) deve ser 100 m. Então, vamos lançar mão de um recurso comum em matemática que são as chamadas variáveis. Usaremos uma letra para representar um número desconhecido. É corriqueiro o uso do "x", mas pode ser qualquer símbolo. O importante é saber o que ele significa. Vamos dizer então que o lado menor tenha medida "x". Ora... Uma rápida inspeção nos leva a concluir que o outro lado menor também deve ser "x". Ficamos então com a seguinte situação.

Legal... Agora, como eu devo escrever a medida do lado maior do retângulo? Poderíamos chamar de "y"? Claro, mas há alguma relação entre "x" e "y"? Pense bem. A parte de cor azul-elétrico deve ter comprimento 100, não? Pois bem, se é assim,

$$x+y+x=100$$

Agora vem o que você, teoricamente, aprendeu nas aulas de matemática e que geralmente não se dá muita atenção. Nós podemos escrever ali o "y" em função do "x" e encontrar que

$$y=100-2x$$

Legal... Agora temos o que está anotado na figura seguinte:

Hummm... Vamos lembrar o que queremos: determinar as medidas dos lados que fazem com que a área seja máxima. Quando temos números fixos o cálculo da área de um retângulo é muito simples. Estudamos na escola isso também, embora muitos acharam bobagem conhecer como se calcula área de regiões planas por não ver onde isso seria útil em seu dia-a-dia. A área de um retângulo pode ser calculada multiplicando as medidas de dois lados consecutivos, comumente falado: multiplica-se a medida da base pela medida da altura. Temos ali uma porção de letras, mas... não se esqueça que estas letras representam números (no caso os valores possíveis de "x" são de 0 a 50, concorda?). Aquela música dos pássaros realmente foi muito bonita, não? Como seria então a medida da área? Repare na figura anterior. Vamos usar uma outra letra para "guardar" o valor da área. A letra que será usada é a letra "A". Assim, podemos escrever:

$$A=x.(100-2x)$$

Aqui você precisa do que seus professores de matemática ensinaram lá na 7ª série (8º ano) sobre multiplicação de monômios, o que é parte literal e coeficientes; precisa também saber o básico de propriedades de potências que seus professores vêm falando nisso desde a 5ª série (6º ano) e muitos acharam uma bobagem estudar aquilo porque não usariam em seu dia-a-dia. Supondo assimilou o que viu nas aulas de matemática chegará à conclusão que poderá escrever a expressão anterior assim:

$$A=100x-2x^2$$

e mais... Verá que a variável "A" depende da variável "x" e assim terá a função

$$A(x)=100x-2x^2=-2x^2+100x$$

Função.... função... Essa palavrinha não é estranha a você, não é? Se já passou da 8ª série (9º ano) já viu sobre isso e na época até falou para seu professor que não precisaria de função em seu dia-a-dia. Pois bem, estamos diante de uma função quadrática (do 2º grau).

Vejamos como ficou nosso problema. Encontrar as dimensões do cercado que faz com que a área seja máxima é o mesmo que encontrar o valor de "x" que maximiza a função $A(x)=100x-2x^2$ e o nosso problema está "matematizado", isto é, transformamos um problema real em um problema matemático. Acompanhe na figura nossa posição. No passo 2 vamos usar ferramentas matemáticas para resolver o problema matemático.

Agora, esquecemos o problema da cerca. Nosso propósito é encontrar o valor de "x" que maximiza a função $A(x)=100x-2x^2$. Aqui, há alguns conceitos que foram passados pelo seu professor quando estudou funções quadráticas (de 2º grau). Será que deu a devida importância? Veja só alguns assuntos que devem ser dominados para a resolução desse problema.

A função $A(.)$ tem domínio (para esse problema) em $[0,\;50]$
O gráfico da função $A(.)$ é uma parábola convexa, isto é, com a concavidade voltada para baixo e sendo assim naturalmente assume um valor máximo
O valor máximo da função ocorrerá no vértice da parábola.
A abscissa do vértice de uma parábola $f(x)=ax^2+bx+c$ pode ser encontrada assim $x_v=\frac{-b}{2a}$ e $y_v=-\frac{\Delta}{4a}$ onde $V=(x_v,\;y_v)$ é o vértice da parábola e $\Delta=b^2-4ac$.

Hummm... Apareceu uma porção de palavrinhas estranhas aí, não? Parábola? O que é isso? Vértice? Tsc tsc tsc... Abscissa? :-o Como é mesmo o nome? Domínio? Você já viu essa palavra... Mas o que ela significa mesmo? Pois bem... Aqui vem a questão de você ser "alfabetizado" nesta linguagem. Se eu falo para você: o eixo das abscissas é o horizontal e o das ordenadas é o vertical; no eixo das abscissas vamos marcar os valores de "x" e no eixo das ordenadas vamos marcar os valores de $A(x)$. Se você não faz ideia do que seja eixo das abscissas e eixo das ordenadas, eu estarei falando uma linguagem estranha para você e assim não haverá comunicação, concorda? Entretanto para alguém "alfabetizado" em matemática (das mais básicas), deverá vir à sua mente algo como mostramos na figura seguinte.

Para cada valor de "x" há um valor de "y" correspondente. Estes dois valores formarão um par (x,y) que tem uma correspondência biunívoca com os pontos do plano coordenado (outra palavra estranha?). Se você dispusesse de muuuitooo tempo e paciência poderia ir colocando x valendo 0, 1, 2, 3, ... até 50 e depois de marcar os pares (x,y) encontraria algo semelhante ao que está na figura seguinte.

Não temos tempo para fazer isso. Essa seria uma forma "burra" de resolver o problema. Aproveitamos o gráfico anterior e perguntamos: você sabe "ler" o que o gráfico diz? Os números que aparecem na horizontal representam o quê? E os números que aparecem na vertical? O que representam?

Os números no eixo horizontal representam a medida do lado menor do cercado.

Os números no eixo vertical representam a área.

Vamos então aos assuntos que são vistos em sala de aula e que deverá conhecer para resolver esse problema:

Saber o que significam os números que aparecerão na horizontal e na vertical (medida do menor lado do retângulo e a área, respectivamente)
Saber construir o gráfico de uma função quadrática de forma rápida. Para isso basta conhecer o que representa os coeficientes "a", "b" e "c" para o gráfico da função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c$ a saber: o sinal de "a" indica se a parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo; "b" indica se a parábola cruza com o eixo das abscissas na parte crescente ou decrescente; "c" indica onde o gráfico cruza com o eixo das ordenadas e o sinal de $\Delta$ indica em quantos pontos o gráfico cruza com o eixo das abscissas. Tudo isso é ensinado nas aulas de matemática.
Saber que o valor máximo está na ordenada do ponto chamado Vértice e que esse ponto é o que fica na posição mais alta (falando sem formalismo) da parábola, no caso de ela ter a concavidade voltada para baixo.
Saber que essa ordenada do vértice representa o valor máximo da área.
Saber que o valor de "x" no eixo das abscissas que geral o valor máximo pode ser calculado assim: $x=-\frac{b}{2a}$ (considerando $A(x)=ax^2+bx+c$ a forma genérica).

Então, o valor de "x" que procuramos (aquele que faz com que a área seja máxima) é

$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2\cdot (-2)}=\frac{-100}{-4}=25$$

Ora, ora... Acabamos de encontrar o valor de "x" que faz com que a função $A(x)=100x-2x^2$ assuma o valor máximo. Estamos então diante da solução do problema matemático. Acompanhe nossa posição na figura seguinte.

Lembre-se do que escrevemos anteriormente:

Encontrar as dimensões do cercado que faz com que a área seja máxima é o mesmo que encontrar o valor de "x" que maximiza a função $A(x)=100x-2x^2$ e o nosso problema está "matematizado", isto é, transformamos um problema real em um problema matemático.

Veja se compreende que o valor de "x" que faz com que $A(x)$ seja máximo é $x=25$. Esta é a solução do problema matemático. Agora, vamos ao passo seguinte que chamamos (no caso, eu, Luís Cláudio LA) de "Realização". Inventei o uso desta palavra aqui para representar o sentido de transformar algo do mundo matemático em algo do mundo real. Vamos então ao Passo 3.

A variável "x" representava a medida do lado menor do lado do cercado, correto? Vamos ver a figura novamenrte.

Então, troque "x" pelo valor que encontrou. Para a expressão $100-2x$, se $x=25$ ficaremos com

$$100-2\cdot 25=100-50=50$$

Após a substituição ficaremos com o que pode ver na figura seguinte

O último passo (validação dos dados obtidos) é uma etapa geralmente ignorada pelos estudantes, mas penso que é importante também. No caso, o que precisa verificar nesse caso é apenas se de fato resolveu o problema. Adicionando os números 25; 50 e 25 teremos os 100 metros de tela dados inicialmente. O problema foi resolvido.

Essa etapa evita que você divida 9001 reais com três pessoas e encontre que cada um deveria receber R$ 300,33

Considerações Finais

Os conceitos são passados para você, aluno, em sala de aula aos poucos pelo seu professor. Você não aprenderá em uma única aula: construir gráfico de função quadrática, encontrar raízes, encontrar eixo de simetria, vértice da parábola, ponto de máximo, valor máximo etc... Essas coisas são ensinadas aos poucos e você ser imediatista e dizer que não é importante estudar porque não vê utilidade em seu dia-a-dia não ajuda em nada.

E quer saber de uma coisa: PARE COM ESSE NEGÓCIO DE APLICAÇÃO NO DIA-A-DIA. Você não usa em seu dia-a-dia o conhecimento que obteve em Ciências sobre plantas Briófitas e Pteridófitas, não usa em seu dia-a-dia o que o que aprendeu sobre colocação pronominal; não melhora o seu dia-a-dia saber sobre a participação do Brasil na 1ª Guerra Mundial e o episódio que ficou conhecido como A Batalha das Toninhas (nesse caso talvez até melhore por conta das risadas... é hilário kkkkkk) ; não melhora o seu dia-a-dia, saber que o Pico da Neblina fica em Minas Gerais ou no Amazonas e N outros assuntos vistos na escola.

Entretanto, o fato de você não usar DIRETAMENTE em seu dia-a-dia não faz disso coisas inúteis. É importante que você conheça um pouco sobre tudo. Conhecer sobre a fauna e a flora, como os organismos funcionam, como se reproduzem, como se alimentam... tudo isso é importante.

Saber o que é um verbo transitivo ou intransitivo também é importante. Lógico que com relação a esse último exemplo você nunca sentirá falta se não escrever, mas você precisará escrever em sua vida, então, é bom saber como a língua portuguesa funciona. Conhecer o que sua professora de Língua Portuguesa ensina em sala de aula o ajudará a identificar, por exemplo, que é errado escrever "Me diga se está tudo bem"; o correto seria escrever "Diga-me se está tudo bem" (procure saber mais sobre as Ênclises em Colocação Pronominal).

Eu citei o episódio da Batalha das Toninhas anteriormente, mas a História de um modo geral é muito importante. Veja só uma situação para você pensar um pouco. No final da Segunda Guerra Mundial a Alemanha e o Japão estavam aniquilados. Seu parque industrial totalmente destruído. O Brail não foi bombardeado nem nada e estava relativamente inteiro ao final da referida guerra. Entretanto, 60 anos depois o Japão e a Alemanhã são potências mundiais, estão na ponta na produção de tecnologia (computadores, equipamentos, carros etc.). Saíram do zero e nos passaram em 60 anos. Por quê? Não é importante entender (também) isso? Claro que sim. O mesmo ocorre com as demais disciplinas.

Você precisa ter uma base de conhecimento que é comum a todos. Mesmo que vá ser advogado, é interessante conhecer, além da língua portuguesa, um pouco sobre biologia, matemática, física etc. Não pode querer ser um pessoa alienada. Me recuso a acreditar nisso.

Voltando agora aos domínios da matemática, tudo o que estuda foi criado em função de um problema. Nada foi criado ao acaso. Qualquer conteúdo visto (em matemática) na escola PODE SER COLOCADO NO CONTEXTO DE UM PROBLEMA. Não significa, portanto, APLICAR EM SEU DIA-A-DIA. São coisas diferentes. Uma coisa é você usar em seu dia-a-dia e a outra é ter aplicação, servir ou ter servido a algum propósito.

Por exemplo: calcular a largura de um rio usando um teodolito (aparelho usado para medir ângulos) e uma trena sem atravessar o rio ilustra uma aplicação de conceitos estudados em trigonometria. Com esses mesmo conceitos podemos descobrir o raio da Terra; com conceitos de semelhança de triângulos podemos calcular a distância da Terra à Lua, da Lua a Sol etc., mas entenda que são situações onde você é colocado diante de um problema e o que aprendeu na escola passa a ser ferramenta para resolver aquele problema, mas aquele problema NÃO É UM PROBLEMA DE SEU DIA-A-DIA.

Então, pense antes de fazer aquela célebre pergunta: professor, onde eu usarei isso em meu dia-a-dia? Melhor seria você perguntar: professor, isso que estamos estudando é ferramenta para resolver que tipo de problema? Que tal? Que tal aprender essa linguagem das ciências? Que tal ser alfabetizado nesta linguagem? Depende também de você. Você tem que querer. Sabe qual é a primeira premissa para se aprender matemática? Querer aprender matemática. Não estou dizendo que é fácil e sim que se você estiver disposto a aprender então seu professor tem uma chance de ter sucesso.

Ufa... Acho que falei demais...

Um abraço a todos

Luís Cláudio LA

[Cálculo 1] Ilustração para limites laterais

2010-11-27T21:47:00.001-02:00

Neste post vamos construir uma ilustração para o conceito de limites laterais e consequentemente de limites. Gostamos de ressaltar sempre a condição de ilustração e destacar que o que verá nada prova, mas é uma forma de melhorar a compreensão do fenômeno estudado. No caso de você ser professor é uma oportunidade de mostrar de forma rápida vários exemplos de forma muito convincente.

Mais uma vez, faremos uso da ferramenta planilha para esta construção. As instruções aqui contidas não envolverão a parte de embelezamento (mudar cor, espessura, tipo de linha, ajuste de escala etc).

Para ver o restante do post, clique em Mais informações » a seguir ou no link anterior.

Para esta ilustração usaremos a função

$$f(x)=\frac{|x|}{x}.(x^2+1)$$

Abra o seu software GeoGebra e no CAMPO DE ENTRADA

f(x)=abs(x)/x*(x^2+1)

No MENU PRINCIPAL clique em EXIBIR>>PLANILHA. Na célula A1 digite: x tende a e nas células A2, B2, C2 até G2 digite os textos mostrados na figura seguinte.

Na célula B1 ficará o valor para onde o valor de x tenderá. Todo o trabalho será voltado para esta célula. Clique na célula A3 e digite 1; clique na célula A4 e digite 2; selecione as duas células e clique no quadrado azul na extremidade direita inferior da seleção (veja figura anterior) e arraste para baixo até a linha 22. com isso criaremos uma ilustração com 20 passos. Se tudo correu bem você estará com os números 1, 2, 3, 4, ... , 20 na coluna A, correto?

Agora, siga os passos seguintes, mas antes entenda qual será a idéia. Vamos pegar um ponto que está uma unidade antes (à esquerda) do ponto limite e um outro uma unidade após (à direita) do ponto limite. Os valores à esquerda do ponto limite serão chamados de x- e os à direita de x+. Vamos mostrar no gráfico os vários pontos na forma (x-,f(x-)) e (x+,f(x+)) quando x- se aproxima do ponto limite pela esquerda e x+ pela direita. Entendeu a ideia? Vamos lá.

Obs.: por conta do filtro LaTeX que gera os símbolos matemáticos que vê no blog tudo o que é colocado entre dois cifrões ele interpreta como símbolo matemático. Assim, no texto abaixo onde vê € substitua por $.

Na célula B1 entre com o valor zero;
na célula B3 escreva: = =€B€1 - 1/( A3 ) (significa cifrão B cifrão 1 -1/A3). Com isso estamos pedindo para que ele pegue o valor da célula B1 e subtraia uma unidade dividido pelo valor da célula que está em A3. O cifrão antes do B fixa a coluna no caso de copiar fórmulas e o cifrão à esquerda do 1 fixa a linha. Nesse caso fixamos a célula pois a linha e a coluna estão fixadas. Veja na imagem seguinte como deve digitar.

Na célula C3 digite: =f( B3 )
Na célula D3 digite: =( B3 , C3 )
Na célula E3 digite: =€B€1 + 1 / A3 Lembre-se que deve colocar um cifrão no lugar de €.
Na célula F3 digite: =f( E3 )
Na célula G3 digite: =(E3, F3)

Pronto. A base de sua construção já está pronta. Selecione as células B3 até G3 como mostrado na figura seguinte.

Clique na extremidade direita da seleção (o quadradinho azul que vê na figura anterior) e arraste para baixo até a linha 22 (se quiser mais é só acrescentar mais valores na primeira coluna) e pronto.

Algumas ações para melhorar sua construção

Note que o rótulo dos pontos aparecem na figura que está na JANELA DE VISUALIZAÇÃO e seria interessante que não estivesse. Para retirar, faça o seguinte:

Clique na coluna onde estão os pontos (D ou G) e depois clique com o botão do lado direito do mouse em algum lugar da coluna e selecione a opção PROPRIEDADES.
Na nova janela que aparecerá clique em PONTO na coluna esquerda e todos os pontos serão selecionados. Se preferir, nesse momento já pode modificar as propriedades dos pontos como espessura, cor, forma etc.

Clicando na guia BÁSICO deverá desmarcar a opção EXIBIR RÓTULO (figura seguinte). Assim os pontos não aparecerão mais com os rótulos e o desenho ficará mais limpo.

Feito isso, clique em FECHAR. Para selecionar apenas os pontos.

Como aumentar a "velocidade" de aproximação do ponto limite?

Você notará que estamos usando uma sequência do tipo

$$x_n=x_0\pm \frac{1}{n}$$

De fato quando n tende a infinito, $x_n$ tende a $x_0$, mas com apenas 20 termos podemos achar que ficamos muito "distante" do ponto limite. Para aumentar essa "velocidade", basta fazer um ajuste na sequência usada.

Demos uma instrução anteriormente assim:

na célula B3 escreva: = =€B€1 - 1/A3 (significa cifrão B cifrão 1 -1).
Na célula E3 digite: =€B€1 + 1 / A3 Lembre-se que deve colocar um cifrão no lugar de €.

Basta modificar a relação com a coluna A. Algumas formas de melhorar a rapidez com que os pontos se aproximam do ponto limite seria assim:

na célula B3 escreva: = =€B€1 - 1/A3^2 (significa cifrão B cifrão 1 -1).
Na célula E3 digite: =€B€1 + 1 /A3^2 Lembre-se que deve colocar um cifrão no lugar de €.

ou ainda, para ficar mais rápido ainda:

na célula B3 escreva: = =€B€1 - 1/exp(A3) (significa cifrão B cifrão 1 -1).
Na célula E3 digite: =€B€1 + 1 /exp(A3) Lembre-se que deve colocar um cifrão no lugar de €.

Feito essa modificação, basta selecionar as células B3 até G3 e copiar essas fórmulas até a linha 22 (basta clicar a arrastar o quadradinho azul na extremidade direita da seleção.

Uma outra ação poderá modificar a quantidade de casas decimais consideradas. Para fazer este ajuste, no MENU PRINCIPAL, vá em OPÇÕES>> ARREDONDAMENTOS e escolha quantas casas decimais quer.

APPLET

A seguir você tem acesso ao applet com esta construção. Aqui na Internet mesmo poderá modificar a função digitando no CAMPO DE ENTRADA a função que quer trabalhar. Eis alguns exemplos funções que pode digitar no referido campo:

f(x)=sin(x)/x
f(x)=(1-cos(x))/x
f(x)=ln(x)

Escolha a sua agora.

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Para modificar o ponto limite, no CAMPO DE ENTRADA digite o novo valor para a célula B2 (que é onde está o valor para onde x tenderá). Eis alguns exemplos:

B2=1
B2=3
B2=-2

e assim por diante.

Para pegar esse arquivo, basta dar um clique duplo sobre o Applet.

Vamos deixar uma tarefa para você. Colocar um segmento de reta que une o ponto sobre o EixoX ao ponto sobre o gráfico e outro que une o ponto sobre o gráfico até o EixoY. Naturalmente que o ponto sobre o EixoX deve ter a mesma abscissa do ponto sobre o gráfico e o ponto sobre o EixoY deve ter a mesma ordenada do ponto sobre o gráfico. Ilustração clássica.

Se você é professor(a), a parte da planilha propriamente dita pode ser interessante para você mostrar ao seu aluno a ideia de convergência. Muitos calculam até de forma correta, mas não têm um entendimento pleno do que estão calculando.

Divirtam-se...

Gostaria de receber notícias deste blog e seus autores? Assine nosso boletim informativo (coluna direita na parte superior). Quer sugerir alguma ilustração, deixe um comentário no campo a seguir. Sugira ilustrações e, na medida do possível, vamos colocar aqui.

Grande abraço
Luís Cláudio LA & J.Cássio

[Cálculo Numérico] Método do Ponto Fixo com o GeoGebra (ilustração)

2010-11-20T11:45:00.005-02:00

Nesse post vamos mostrar como você pode usar a ferramenta planilha do GeoGebra para produzir uma ilustração do método do ponto fixo para resolver equações (principalmente as transcendentes).

Para ver o restante do post, clique em Mais informações » a seguir

Considere o problema de encontrar a raiz de uma função contínua $g(x)=0$ que possui uma raiz no intervalo $[a,\,b]$. O método do ponto fixo consiste em encontrar um valor de $x$ em $[a,\,b]$ tal que $f(x)=x$ onde a solução desta última equação é a mesma que faz com que $g(x)$=0. A função $f$ é chamada função de transição ou interação.

Para ilustrar mostraremos como encontrar uma raíz da função $g(x)=x-\sqrt{x}$. Nesse caso, o valor de x que faz com que $f(x)=x$ ou seja, $\sqrt{x}=x$ é o mesmo que faz com que $g(x)=x-\sqrt{x}=0$. Encontrar uma raiz para $g$ é, portanto, equivalente a encontrar um ponto fixo para $f$.

Vamos ao GeoGebra. Abra o seu software

no menu principal clique em EXIBIR>>PLANILHA;
ainda no CAMPO DE ENTRADA digite: y=x ; depois digite: f(x)=sqrt(x) ;
na célula A1 digite: =Ponto[EixoX]; aperte a tecla ESC e arraste o ponto A1 que apareceu sobre o EixoX. Deixe-o próximo de x=3.
na célula B1 digite: =(x(A1), f(x(A1)))
na célula C1 digite: =Segmento[A1, B1]
na célula A2 digite: =(y(B1), y(B1))
copie a fórmula da célula B1 para a célula B2 ou escreva na célula B2: =(x(A2), f(x(A2)))
copie a fórmula da célula C1 para a célula C2 ou escreva na célula C2: =Segmento[A2, B2]
na célula D2 digite: =Segmento[B1, A2]
selecione as células A2 até D2 (basta clicar em A2 e arrastar até D2.

Pronto. Agora basta repetir esse procedimento copiando-o para as células que estão abaixo. Para isso, basta clicar no pequeno quadrado azul na parte direita inferior da célula D2 e arrastar para baixo. Sugiro que arraste até a linha 20 (serão 20 interações)

Selecione as colunas A,B,C e D (basta clicar sobre a letra da coluna A e arrastar até a coluna D (ver figura seguinte). Feito isso, clique com o botão do lado direito do mouse sobre a planilha, selecione a opção PROPRIEDADES e na janela que aparecerá, DESMARQUE a opção EXIBIR RÓTULO.

Feito isso, o que pode fazer agora é embelezar sua construção, mas isso deixarei contigo. O applet a seguir mostra um dos resultados finais.

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Quando for tentar resolver um outro problema, poderá se deparar com outras funções de transição (ou interação). Nesse caso poderá usar a construção feita para ilustrar a convergência ou divergência da sequência usada para se aproximar da raiz, a saber,

$$x_{k+1}=f(x_k)\;,\;k\in \mathbb{N}.$$

Use o CAMPO DE ENTRADA no applet anterior para experimentar outras funções de transição (para outros problemas). Modifique a escala, caso queira ou baixe o arquivo. Basta um clique duplo em qualquer lugar do applet. Para modificar a função de transição, basta escrever no CAMPO DE ENTRADA:

f(x)=x^2
f(x)=sin(x)
f(x)=abs(cos(x))

e assim por diante.

Agora... Divirta-se.

Grande abraço

Sobre a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO do GeoGebra

2010-10-16T18:43:00.003-03:00

Prezados(as),

eu sempre digo a meus alunos que a dúvida é a mãe da sabedoria. Não sei se essa frase é de alguém conhecido para lhe dar o devido crédito. Ouvi ela de um senhor (reportagem do Fantástico há muito tempo atrás) que não frequentou uma escola durante muito tempo, mas era um autodidata e em especial gostava muito de matemática. Certo é que se alguém tem uma dúvida, é porque está pensando sobre algo e isso é o primeiro passo para adquirir um novo conhecimento.

A dúvida era sobre a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO do GeoGebra. Essa ferramenta está localizada na Janela 4 (4º grupo de comandos da esquerda para a direita - GeoGebra 3.2). Nosso objetivo neste post é falar sobre essa ferramenta e para isso, clique em "Mais informações »" a seguir.

Essa é uma ferramenta que possui dois argumentos.

Ponto que determina o lugar geométrico (é aquele que irá gerar o traço do lugar geométrico).
Ponto (é como se fosse o ponto do domínio)

Pelo CAMPO DE ENTRADA você pode acessar esse comando com uma sintaxe da seguinte forma:

LugarGeométrico[<Ponto que Determina o Lugar Geométrico>, <Ponto>]

É preciso que você se lembre que o segundo ponto deve ser escrito em função das coordenadas do primeiro. Assim, recordemos o seguinte: se um ponto tem nome "A", eu faço referência à abscissa desse ponto escrevendo "x(A)" e para a ordenada, "y(A)". Se o ponto tem nome "P" e eu escrevo "x(P)" estou chamando apenas o número que está na primeira coordenada de P. Certo? Por exemplo. Se o ponto Q=(1, 5), então, x(Q)=1 e y(Q)=5. Certifique-se que entendeu isso.

Vamos ilustrar o uso da ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO com uma função.

LEMBRE-SE: VOCÊ PRECISA SEMPRE DE DOIS PONTOS

No CAMPO DE ENTRADA digite o que está à direita das bolinhas pretas.

Ponto[EixoX]

Cria um ponto sobre o EixoX. Aperte a tecla ESC e arraste o ponto A criado. Ele ficará sempre sobre o EixoX, ok?

(x(A), sin(x(A)))

Cria um ponto onde a abscissa é a abscissa do ponto A -- x(A) -- e a ordenada é o seno da abscissa do ponto A -- sin(x(A))--; não esqueça que um ponto é criado da seguinte forma: (número, número). Agora, dois pontos estão na JANELA DE VISUALIZAÇÃO. O ponto A é quem determinará o lugar geométrico e o traço deixado pelo B estará neste lugar geométrico. Você pode entrar com o comando:

LugarGeométrico[B,A]

ou ativar a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO (Janela 4), clicar sobre o ponto B e posteriormente sobre o ponto A. O efeito é o mesmo. A seguir há um applet com os pontos A e B já colocados. Execute a instrução anterior e veja se conseguirá ver o gráfico da função seno.

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Suponha que queira fazer esse mesmo trabalho, mas com o ponto sobre uma outra curva. Apague todos os objetos da janela que está aberta ou abra uma nova.

A curva não precisa ser uma função. Vamos usar o comando "Curva[]". Escreva no CAMPO DE ENTRADA, por exemplo:

Curva[sin(t),-cos(t)/t,t,-5,5]

Trata-se de uma curva parametrizada cujo nome é "a", ok? Vamos colocar um ponto sobre essa curva com o seguinte comando:

Ponto[a]

Apareceu um ponto sobre a curva a(t), correto. Agora queremos um ponto B cuja coordenada depende das coordenadas do ponto A. Vamos inventar uma relação só para que veja como funciona. Escreva no CAMPO DE ENTRADA.

(exp(-x(A))*y(A), cos(x(A))*ln(abs(y(A)*x(A)^2)))

Veja que as coordenadas desse ponto novo é escrito em função da abscissa e ordenada do ponto A. Eu coloquei esta expressão mais complexa apenas a título de ilustração. Feito isso, um ponto B aparecerá. Esse é o ponto que determinará o lugar geométrico. Feito isso, de duas uma. Ou você ativa a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO (Janela 4), clica no ponto B e depois no ponto A ou no CAMPO DE ENTRADA, digite:

LugarGeométrico[B,A]

O applet abaixo está aguardando apenas esse último comando. Execute-o e veja o que será mostrado. Opcionalmente você pode apagar todos os objetos e fazer esta atividade desde o início.

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Resumindo: esta ferramenta precisa de um ponto colocado em função do outro. O que é mostrado é o que se obtém quando o primeiro ponto se move sobre algum objeto que pode ser um eixo, um segmento de reta, uma função, uma curva etc.

Uma pergunta natural seria: e se quisesse saber onde é o lugar geométrico dos pontos que satisfazem a equação

$$x.\cos(xy)+y.e^{x.\cos(y^2)}=2.\ln|xy|$$?

Há como? Até esta versão (3.2) ainda não, mas esta ferramenta já está sendo desenvolvida.

Ilustração sobre gráficos de funções inversas

2010-10-16T18:41:00.004-03:00

Prezados(as)

neste post pretendemos construir uma ilustração que permita ao estudante perceber, do ponto de vista geométrico, como ele pode perceber qual é a forma do gráfico da inversa de uma função contando que conheça o gráfico desta função. Os conceitos necessários são:

Rotação de um ponto em torno da origem.
Reflexão de um ponto em torno do EixoY

Um problema inicial que enfrentamos está no fato de que o comando Girar[] do GeoGebra não gira funções. Para contornar esse problema precisaremos de um pouco de matemática e a função LUGAR GEOMÉTRICO.

A estratégia será a seguinte:

Criamos uma função usando o comando Função[lei, início, fim]
Colocamos um ponto sobre o gráfico desta função. Provavelmente será nomeado de "A".
Criamos um ponto B que é a rotação do ponto A em "t" radianos em torno da origem. Esse parâmetro "t" estará no intervalo [0; 1,57]
Usamos a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO para marcar esse lugar.
Quando o parâmetro "t" estiver em 1,57 (metade de pi) pedimos para ele mostrar a reflexão do gráfico que está girando em torno do EixoY (matemática básica)
Enfeites finais.

Se quer ver o restante do post clique em clique em "Mais informações »" a seguir.

Devemos primeiro criar uma função. Usaremos o comando Função[] para ter controle sobre o domínio, já que várias funções não têm inversas se tomarmos o domínio sendo os Reais, como por exemplo: f(x)=cos(x), sen(x), x² e outras. No CAMPO DE ENTRADA entre com o seguinte comando:

f(x)=Função[x^2,0,5]

Criamos uma função y=x² definida no intervalo [0, 5]. Vamos pedir um ponto sobre o gráfico de f. Para isso entre com o seguinte comando

Ponto[f]

Um ponto A foi criado sobre o gráfico de f. Aperte a tecla ESC e movimente o ponto.

Agora vamos criar o parâmetro que controlará a rotação. Usaremos a ferramenta SELETOR (Janela 10). Ative esta ferramenta (figura do botão ao lado) e clique onde quer que o seletor apareça. Uma janela se abrirá. Dê nome a esse seletor de "t" com valor inicial em 0 e final em 1.57. Aperte o botão APLICAR.

O próximo passo é criar um ponto B que seja a rotação do ponto A em "t" radianos no sentido anti-horário. Aqui é necessário o conhecimento de um pouco de matemática que se aprende geralmente nos cursos de Álgebra Linear (ou Geometria Analítica, não me lembro muito bem). Se (x,y) é um ponto qualquer do plano coordenado e (X,Y) é a coordenada de um ponto obtido com a rotação do ponto (x,y) em torno da origem em um ângulo de "t" radianos (pode ser em graus também, claro), então

$$X=x.\cos(t)-y.\sin(t)$$
.

$$Y=x.\sin(t)+y.\cos(t)$$

Veja isso mais detalhadamente clicando AQUI. Precisamos criar um ponto então com estas coordenadas. Para isso, entre com o seguinte comando no CAMPO DE ENTRADA do GeoGebra:

(x(A) cos(t) - y(A) sin(t), x(A) sin(t) + y(A) cos(t))

O ponto criado foi nomeado, provavelmente, como B. Aperte a tecla ESC e certifique-se que o ponto gira em torno da origem. Agora temos os dois pontos necessários para construir o lugar geométrico.

Ative a ferramenta LUGAR GEOMÉTRICO e clique sobre o ponto B e posteriormente sobre o ponto A. Alternativamente, no CAMPO DE ENTRADA entre com o comando LugarGeométrico[B,A] .

Aperte a tecla ESC e arraste o seletor com o parâmetro "t". Veja se o gráfico gira em torno do EixoX.

A parte final deixo como exercícios vocês construírem. Vejam se conseguem construir algo semelhante ao que se vê no applet seguinte.

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Para baixar esse arquivo, basta dar um clique duplo sobre ele depois de carregado. Para modificar a função que está sendo usada na ilustração, digite no CAMPO DE ENTRADA uma instrução na forma: f(x)=Função[lei da função, início, fim]. Deixarei algumas para que possa apenas copiar e colar (na verdade basta selecionar, arrastar para o CAMPO DE ENTRADA e apertar ENTER).

f(x)=Função[sin(x),-pi/2,pi/2] - para a inversa de seno em $[-\pi/2,\pi/2]$
f(x)=Função[cos(x),0,pi] - para a inversa de cosseno em $[0,\pi]$
f(x)=Função[tan(x),-1.5,1.5] - para a inversa de tangente em $[-\pi/2,\pi/2]$
f(x)=Função[cos(x)/sin(x),0,pi] - para a inversa de cotangente em $[0,\pi]$
f(x)=Função[1/cos(x),0,pi] - para a inversa de secante em $[0,\pi]$
f(x)=Função[1/sin(x),-pi/2,pi/2] - para a inversa de cosecante em $[-\pi/2,\pi/2]$
f(x)=Função[x^2,-5,0] - para a inversa de $y=x^2$, $x>0$
f(x)=Função[sqrt(x),0,10] - para a inversa de $y=\sqrt{x}$, $x>0$
f(x)=exp(x) - para a inversa da exponencial
f(x)=ln(x) - para a inversa do logaritmo natural

Agora você pode tentar fazer as suas. Há uma outra forma de gerar o gráfico da função inversa que é refletindo o gráfico de y=f(x) em torno da reta y=x, mas deixaremos essa construção como uma atividade, já que é bem simples.

Gostou desse post? Não gostou? Quer perguntar algo? Use o campo de comentários abaixo.

Grande abraço
Luís Cláudio LA

A matemática das colméias

2010-09-12T23:04:00.009-03:00

[Obs.: este artigo foi escrito pensando no aluno. Daí a quantidade de detalhes que verá]

Nesse pequeno artigo vamos discutir o motivo pelo qual as abelhas escolheram que os favos em suas colméias tivessem o formato de um hexágono (veja figura ao lado)? Já encontraram algum favo com o formato de quadrados, triângulos ou algum outro polígono? Que tal uma circunferência? Faz sentido? De alguma forma a natureza levou as abelhas a escolherem o formato de um hexágono.

Nesse artigo vamos estudar se "matematicamente" essa foi uma boa escolha. Se quiser ver o restante do artigo, clique em clique em "Mais informações »" a seguir.

Alguns aspectos devem ser observados.

Os polígonos devem ser encaixantes e não é qualquer um que tem essa propriedade. Há apenas três que podem ser encaixados: o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono regular (podemos discutir o porquê em um outro post).
A quantidade de cera que deverá usar em cada caso deverá ser a mesma para que possamos comparar o motivo pelo qual uma forma geométrica é melhor que a outra. Sendo assim, suporemos que a quantidade de cera é suficiente para construir uma "parede" de comprimento "a".
Consideraremos o favo aberto na tampa e no fundo e que cada um dos favos são construídos sem aproveitar as paredes de outro já construídos. Não faremos essa análise aqui. Apenas procuraremos quais dos prismas com mesmo perímetro da base tem maior capacidade.

Verá que para entender esse simples problema vindo da natureza é necessário entender sobre vários conceitos matemáticos. Isso não é algo que você irá usar em seu dia a dia, mas com certeza mostra a matemática como ferramenta para entender um fenômeno natural.

Bom, vamos aos cálculos. A seguir há um applet que deverá ser possível observar através de uma ILUSTRAÇÃO que para polígonos onde o número de lados é maior que 7, não é possível encaixá-los; para aquele de número de lados igual a 5, note que também não é possível encaixá-los, mas é possível com aqueles cujo número de lados são iguais a 3, 4 ou 6 lados.

[Applet1]

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Suponhamos que "a" seja o comprimento da parede do favo que é possível fazer certa quantidade de cera. Veremos em cada caso qual é a área da região cercada por essas paredes. Entenda o modelo matemático que criaremos. A ideia é analisar os três casos (triângulo equilátero, quadrado e hexágono). Observe a ILUSTRAÇÃO seguinte mostra o que iremos analisar. Observe como a partir de um mesmo comprimento iremos construir um triângulo equilátero, um quadrado e um hexágono regular. Observe com calma.

[Applet2]

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Vamos agora analisar cada caso.

Análise do triângulo equilátero

Para o triângulo equilátero, a medida de cada lado será $$\frac{a}{3}$$ onde "a", só lembrando, é o comprimento que temos disponível. Para encontrar essa área você deve saber calcular área de um triângulo, conteúdo estudado na escola. No caso do triângulo equilátero, suponha que "L" seja uma medida qualquer. Então estaremos com um triângulo ABC como o mostrado na figura seguinte onde H é o pé da altura relativa ao lado AB. Outro fato estudado na escola é que a altura do triângulo equilátero é também bissetriz, mediana e mediatriz. Observe a figura seguinte:

É sabido (também estudado na escola) que a área do um triângulo qualquer é

Área=$$\frac{\mbox{base}\times \mbox{altura}}{2}$$

A medida da base é a distãncia entre os pontos A e B, que no caso mede "L". O que não temos aqui é a medida da altura, que está representado por "h" na figura anterior. Para descobrir "h" você precisa de outro assunto estudado também na escola: teorema de Pitágoras. Esse teorema diz que

"o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos"

Lembre-se que chamamos de CATETOS aqueles lados que ajudam a formar o ângulo reto (de 90 graus) e a HIPOTENUSA é aquela lado maior que não ajuda a formar esse ângulo reto. Pois bem, olhando para o desenho anterior pode observar que a medida da hipotenusa é "L", um dos catetos mede "$$\frac{L}{2}$$ e o outro cateto mede "h", que queremos descobrir. Por conta do Teorema de Pitágoras, sabe-se que

$$L^2=\left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2$$

Não se esqueça que queremos saber qual é a medida de "h" em função da medida "L". Vamos resolver a equação anterior em relação a "h". Ficaremos com

$$L^2=\left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2\Rightarrow \left(\frac{L}{2}\right)^2+h^2=L^2$$

Veja que apenas escrevi a igualdade da direita para a esquerda. Sendo assim, elevando L/2 ao quadrado encontraremos $$L^2/4$$ e assim,

$$\frac{L^2}{4}+h^2=L^2\Rightarrow h^2=L^2-\frac{L^2}{4}$$

Agora, adicionando os monômios que apareceram no segundo membro ficaremos com (lembre-se que é necessário encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) para adicionar frações):

$$ h^2=\frac{\color{\red{4}}L^2-L^1}{4}\Rightarrow h^2=\frac{3L^2}{4}$$

Extraindo a raiz quadrada em ambos os membros (pois $$h>0$$) ficaremos com

$$h=\sqrt{\frac{3L^2}{4}}=\frac{\sqrt{3L^2}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}\sqrt{L^2}}{2}$$

Como $$L>0$$, $$\sqrt{L^2}=L$$ e assim,

$${\color{red}h=\frac{\sqrt{3}L}{2}=\frac{L.\sqrt{3}}{2}}$$

Assim, já podemos escrever a medida da área do triângulo equilátero. Observe:

Área=$\frac{\mbox{base}\times \mbox{altura}}{2}=\frac{1}{2}\cdot L\cdot {\color{red}h}= \frac{1}{2}\cdot L\cdot {\color{red}\frac{L.\sqrt{3}}{2}}=\frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}$

Pois bem, acabamos de ver que a medida da área de um triângulo equilátero é igual à medida do lado do triângulo multiplicado por $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Para o caso do favo da colméia, a medida do lado é a/3, ou seja,

$${\color{blue}L=\frac{a}{3}}$$

e assim a área será

$$\mbox{\´{A}rea}=\frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\left({\color{blue}\frac{a}{3}}\right)^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{a^2}{9}\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{a^2}{9}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2$$

Conclusão: com um comprimento "a" podemos criar um triângulo equilátero de área $$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot a^2$$.

Análise do quadrado

No caso do quadrado, cada lado dela irá medir $$\frac{a}{4}$$ e como a área do quadrado é igual ao quadrado da medida do lado então

$$\mbox{Area}_{\mbox{Quadrado}}=\left(\frac{a}{4}\right)^2=\frac{1}{16}\cdot a^2=0,0625\cdot a^2.}$$

Análise do hexágono regular

No caso do hexágono regular você deve lembrar que a área é seis vezes a área do triângulo equilátero que possui o mesmo lado (do hexágono). Para que você nunca mais se esqueça desta propriedade, eu preparei uma ilustração dinâmica que ilustra esse fato. Arraste o seletor ou clique no botão "Play" para ver o que queremos dizer.

[Applet3]

. Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now) .

Sabendo disso, voltamos à fórmula da área do triângulo equilátero cuja medida do lado é "L" e multiplicamos ela por 6. Assim,

Área$$_{\mbox{Hexagono Reg.}}=6\cdot {\mbox{Area}}_{\mbox{Tri\^angulo Equilatero}}}=6\cdot \frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4}$$

Ou seja,

Área$$_{Hex. Reg.}=6{\color{red}\div 2}\cdot \frac{L^2\cdot \sqrt{3}}{4{\color{red}\div 2}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}\cdot L^2}{2}$$

que finalmente nos dá:

Área$$_{\mbox{Hex. Reg.}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot {\color{green}L}^2$$

Agora que sabemos a fórmula para calcular a área do hexágono regular, voltemos ao nosso problema. Note que o comprimento "a" deverá ser dividido agora por 6. Assim, a medida do lado do hexágono será $${\color{green}L=\frac{a}{6}}$$ e assim, a área delimitada pelo hexágono feito com cera será:

Área$$_{\mbox{Hex. Cera}}=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot \left({\color{green}\frac{a}{6}}\right)^2=\frac{3\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a^2}{36}=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{72}\cdot a^2$$

Simplificando vem,

Área$_{\mbox{Hex. Cera}}=\frac{3{\color{red}\div 3}\cdot\sqrt{3}}{72{\color{red}\div 3}}\cdot a^2=\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,0721687\cdot a^2$

Conclusão

Área triângulo equilátero

$$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot a^2.$$

Área do quadrado

$$\frac{1}{16}\cdot a^2=0,062500\cdot a^2.}$$

Área do Hexágono

$$\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,072168\cdot a^2$$

Qual dos três tem área maior? Dos números decimais que aparecem logo acima, o maior é o terceiro (0,072168), ou seja, a área do hexágono é a maior entre as três. Se quiser um caso particular, tome $$a=10\,\,\,\mbox{cm}$$ e teremos, em particular:

Área triângulo equilátero

$$ \frac{\sqrt{3}}{36}\cdot a^2\approx 0,048112\cdot 10^2=0,048112\cdot 100=4,8112\,\,\mbox{cm}^2$$

Área do quadrado

$$\frac{1}{16}\cdot a^2=0,062500\cdot 10^2=0,062500\cdot 100.}=6,25\,\,\mbox{cm}^2$$

Área do Hexágono

$$\frac{\sqrt{3}}{24}\cdot a^2\approx 0,072168\cdot 10^2= 0,072168\cdot 100= 7,2168\,\,\mbox{cm}^2\$$

Simples, não? Por incrível que pareça as abelhas sabem que esse é o melhor formato para a construção dos favos.

Observe o seguinte: os conceitos aqui usados são estudados em sua escola (todos eles) e muitos alunos perguntam: mas por que eu devo estudar isso se não irei usar isso em meu dia a dia? O que viu aqui não é algo que irá usar em seu dia a dia, mas com certeza trata-se de um conhecimento a mais que conseguiu usando como ferramenta alguns tópicos vistos em sala de aula.

Grande abraço

Luís Cláudio LA

Hoje a matemática do Brasil teve uma grande perda

2010-08-29T22:23:00.007-03:00

Dna Neuza (esq.) e o prof. Geraldo Ávila (centro)

Hoje, 29 de agosto de 2010, é um dia triste para muitos no Brasil e em particular para mim. Faleceu o prof. Geraldo Ávila, autor de diversos livros usados na graduação como: Cálculo, Variáveis Complexas, Análise e outros. Além de um excelente autor e um professor fantástico era também um grande amigo.

Penso que a maioria dos estudantes chegou a estudar em um de seus livros (escreveu sete livros). Se não foi o de Cálculo, foi o de Análise, senão, foi o de Variáveis Complexas. O professor Geraldo Ávila também publicou diversos artigos tanto para nível superior quanto para nível médio. Consulte a RPM (Revista do Professor de Matemática) ou a MU (Matemática Universitária) ou outra com um de seus trabalhos.

Professor Geraldo Ávila, todos nós sentiremos sua falta. Que seu espírito esteja com Deus e com ele fique eternamente.

Um grande abraço

Luís Cláudio LA

Ilustração sobre produto de frações

2010-08-29T09:43:00.017-03:00

Você sabe por que em multiplicação de frações se multiplica o numerador com o numerador e denominador com o denominador? Para entender isso, que tal ver uma ilustração usando o GeoGebra?

Caso queira ver a explicação sobre isso, clique em "Mais informações »" a seguir.

Enquanto você lê este post, um applet será carregado. Se uma janela aparecer pedindo autorização para executar, clique em RUN.

Vamos aos fatos e vejamos se conseguimos entender. Se esforce para compreender.

Em primeiro lugar, lembre-se que uma fração faz referência a partes de mesmo tamanho. Por exemplo: se escrevemos $$\frac{2}{3}$$ estamos dizendo que de um total de três partes IGUAIS tomamos duas. Se escrevemos $$\frac{2}{7}$$ estamos dizendo o inteiro foi dividido em 7 partes IGUAIS e destas, tomamos duas.

Pois bem, considere agora duas frações:

$$\frac{2}{5}$$ e $$\frac{3}{4}$$

mostradas na figura seguinte.

Representação das frações 2/5 e 3/4, respectivamente.

O inteiro considerado aqui (para facilitar a compreensão) tem a forma de um quadrado, mas poderia ter qualquer qualquer outra (retângulo, disco, cubo, pirâmide etc). A fração $$\frac{2}{5}$$ representa duas partes IGUAIS de um total de 5 (em azul). Olhe o desenho anterior e certifique-se que entendeu isso. A outra fração (figura direita) representa 3 partes de um total de 4 (em amarelo).

A pergunta que deve entender é a seguinte: quanto é três quartos de dois quintos? Ou seja, quanto é $$\frac{3}{4}$$ de $$\frac{2}{5}$$? Coloque em sua mente que em matemática esse "de" representa depois de uma matematização, "vezes". A nossa pergunta então é: quanto é

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}$$

O que faremos para obter esse número? Vamos olhar apenas para a parte que está pintada em azul. Essa parte representa a fração $$\frac{2}{5}$$. Queremos marcar agora três quartos desta parte azul. Para isso, precisamos dividi-la (a azul) em quatro partes e dessas tomaremos três, correto?

Lembre-se do que já deve ter estudado nas aulas de Artes (ou Ciências Naturais): ao misturar as cores (pigmento) azul com amarelo o resultado é a cor verde. Vamos marcar com esta cor os $$\frac{3}{4}$$ da cor azul. Teremos algo como mostra a figura seguinte.

A parte verde representa 3/4 de 2/5 (que está azul)

Agora, note que a parte que está em verde representa três quartos da parte azul (que é dois quintos). Em símbolos matemáticos a parte verde representa

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}$$

Agora, qual é a parte do inteiro que é representado pela parte verde? Isto é, o que está em verde é que parte do todo (o quadrado). Observe que agora as partes estão de tamanho diferentes. Precisamos fazer com que elas fiquem com o mesmo tamanho. Como fazer isso?

Simples, prolongue as divisas que estão sobre a parte verde e você agora terá o inteiro (o quadrado) dividido em partes iguais. Note que o inteiro (o quadrado) ficou dividido em 20 partes (veja figura seguinte). O que está em verde corresponde, então, a 6 partes de um total de 20, ou seja, $$\frac{6}{20}$$.

A parte verde representa 6 partes de um total de 20

Daí,

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{6}{20}$$.

Simples, não é? Entretanto, não podemos depender de figuras para determinar o produto. Qual pode ser então o procedimento para se obter a fração produto (resultado da multiplicação)? Repare que

$$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{3\times 2}{4\times 5}=\frac{6}{20}$$

isto é, multiplicamos o numerador com o numerador e o denominador com o denominador. Experimente reproduzir essa ideia com outras frações e verá que o resultado será sempre obtido desta forma (produto entre os numeradores dividido pelo produto entre os denominadores).

Para ver várias outras ilustrações, no applet seguinte você pode arrastar qualquer dos pontos formando novas frações. Feito isso, arraste o ponto AZUL levando o desenho da direita para junto do que está à esquerda, ou seja, arraste a bola azul que está no canto esquerdo superior do quadrado que aparece do lado direito e sobreponha as figuras. Assim visualizará para várias situações o que discutimos.

Para modificar as frações envolvidas, arraste os pontos que estão com os números logo acima.

O produto de frações é a parte pintada da primeira fração que está sobre a parte pintada da segunda, ou seja, é a interseção entre as duas partes pintadas.

Obs.: para que veja o resultado da multiplicação, clique na caixa SOLUÇÃO.

Caso o applet, por algum motivo, não abra nesta página, clique AQUI e veja ele em uma janela separada.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Este recurso foi construído originalmente por Markus Hohenwarter e editado por Luís Cláudio LA

Viu como é simples? Note que não foi por definição que chegamos ao fato que para multiplicar frações devemos multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Isto é um fato que primeiro foi observado e depois se pensou em uma forma rápida de se chegar até o resultado sem precisar usar figuras.

Entretanto, se for adicionar duas frações, verá que não se pode adicionar numeradores e denominadores. Há um porquê também, mas isso ficará para um outro artigo.

Você pode deixar seus comentários/dúvidas etc. no campo a seguir.

Um grande abraço a todos.

Luís Cláudio LA

Primitivas "aparentemente" diferentes....

2010-08-21T22:53:00.003-03:00

É fato conhecido de qualquer curso de cálculo que de $$F(x)$$ e $$G(x)$$ são primitivas de uma função $$f(x)$$ então F e G diferem por uma constante, ou seja,

$$F(x)=G(x)+C$$ onde $$C\in R$$

Entretanto, é muito comum que pensemos estas duas funções idênticas e diferindo por uma constante como por exemplo

$$F(x)=x^2+5$$ e $$G(x)=x^2+10$$.

Nosso interesse aqui é mostrar exemplos de funções cuja primitiva pode ser escrita em termos de funções "aparentemente" diferentes. Se quiser ver o restante desse artigo, clique em "Mais informações »" a seguir.

Uma função que permite contemplar esse tipo de primitivas aparentemente diferentes é a $$f(x)=\cot(x)$$. Podemos escrever

$$\int \csc (x)\,dx=-\ln|\csc(x)+\cot(x)|+C$$
$$\int \csc (x)\,dx=\ln|\csc(x)-\cot(x)|+C$$

Embora semelhantes, há uma diferença no sinal. Para obter esses resultados basta fazer os seguinte:

$$\int \csc(x)\,dx=\int \csc(x)\cdot {\color{red}\frac{\csc(x)+\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}}\,dx$$

$$=\int \frac{\csc^2(x)+\csc(x)\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}\,dx$$

Agora, fazendo a mudança de variável

$$u=\csc(x)+\cot(x)$$

teremos

$$du=-\csc(x).\cot(x)-\csc^2(x)dx=-[\csc(x).\cot(x)+\csc^2(x)]dx$$

Daí,

$$\int \csc(x)\,dx=\int \frac{\csc^2(x)+\csc(x)\cot(x)}{\csc(x)+\cot(x)}\,dx=\int \frac{-du}{u}=-\ln |u|+C$$

e concluímos que

$$\int \csc(x)\,dx=-\ln |\csc(x)+\cot(x)|+C$$

Agora, faremos de outra forma. Observe:

$$\int \csc(x)\,dx=\int \csc(x).{\color{red}\frac{\csc(x)-\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}}\,dx$$

$$=\int \frac{\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}\,dx$$

Considere a mudança de variável $$u=\csc(x)-\cot(x)$$. Então teremos

$$du=[-\csc(x).\cot(x)+\csc^2(x)]dx=[\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)]dx$$

Então,

$$\int\csc(x)\,dx=\int \frac{\csc^2(x)-\csc(x).\cot(x)}{\csc(x)-\cot(x)}\,dx=\int \frac{1}{u}du=\ln|u|+C$$

e concluímos que

$$\int \csc(x)\,dx=\ln |\csc(x)-\cot(x)|+C$$

Se desenhar o gráfico das duas funções encontrará algo como mostramos na figura seguinte. Há um gráfico de cor azul e outro de cor vermelha. Note que estão sobrepostos. Trata-se apenas de uma ilustração. A demonstração deixaremos para outro momento.

Outra situação interessante

Considere agora o problema de encontrar a primitiva da função $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}$$. Uma das formas de resolver a integral é da seguinte forma:

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{\frac{1}{{\color{red}\sqrt{e^{2x}}}}}{\frac{\sqrt{e^{2x}-1}}{{\color{red}\sqrt{e^{2x}}}}}\, dx=\int \frac{\frac{1}{(e^{2x})^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{\frac{e^{2x}-1}{e^2x}}}\,dx=\int \frac{\frac{1}{e^{x}}}{\sqrt{1-\frac{1}{e^{2x}}}}\,dx$$

$$=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-e^{-2x}}}\,dx=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-(e^{-x})^2}}\,dx$$

Agora, fazendo $$u=e^{-x}$$ encontraremos $$du=-e^{-x}dx$$ e assim,

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{e^{-x}}{\sqrt{1-(e^{-x})^2}}\,dx=\int \frac{-du}{\sqrt{1-u^2}}=-\arcsin(u)+C$$

Desse modo,

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=-\arcsin(e^{-x})+C$$

Outra resolução

Agora, vamos pensar em uma outra solução. Consideramos o mesmo problema: calcular a integral

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx$$

Façamos agora a mudança de variável $$e^{2x}-1=w^2,\,\,w>0$$, ou seja, $$x>0$$. Daí, $$d(e^{2x}-1)=d(w^2)$$ ou seja, $$2.e^{2x}dx=2w.dw$$. Como $$e^{2x}=1+w^2$$ então

$$2.e^{2x}dx=2w.dw\Rightarrow 2.(1+w^2).dx=2w.dw\Rightarrow dx=\frac{2w.dw}{2(1+w^2)}dw$$

ou seja,

$$dx=\frac{w}{1+w^2}dw$$

Daí,

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{1}{\sqrt{w^2}}\cdot \frac{w}{1+w^2}\,dw=\int \frac{1}{\color{red}w}\cdot \frac{{\color{red}w}}{1+w^2}\,dw$$

$$\int \frac{1}{1+w^2}\,dw=\arctan(w)+C$$

Como $$e^{2x}-1=w^2,\,\,w>0$$ então $$w=\sqrt{e^{2x}-1}$$ e assim,

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\int \frac{1}{1+w^2}\,dw=\arctan(w)+C$$

$$=\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})+C$$

Então, concluímos que:

$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=-\arcsin(e^{-x})+C$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}\, dx=\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})+C$$

Aparentemente são diferentes, não? Se dois alunos resolvem o problema de calcular a primitiva de $$\frac{1}{\sqrt{e^{2x}-1}}$$ e encontram $$-\arcsin(e^{-x})$$ e $$\arctan(\sqrt{e^{2x}-1})$$ o primeiro pensamento que deve vir à mente é que um deles errou ou ambos erraram o cálculo. Entretanto, os dois acertaram.

A teoria diz que estas funções devem diferir uma da outra apenas por uma constante. Então, é se de esperar que o gráfico de uma seja igual ao gráfico de outra com algum deslocamento vertical. E é o que de fato se vê quando desenhamos o gráfico das duas funções. Observe na figura seguinte.

A ilustração sugere que $$G(x)-F(x)=C$$ onde $$C\in R$$. Isso é fato conhecido na literatura e não iremos demonstrar aqui já que o objetivo foi construir uma ilustração que mostrasse que estas funções podem ser aparentemente diferentes e mesmo assim diferirem por uma constate.

Esta discussão teve início na turma B de Cálculo 2 da Engenharia Civil do UniCEUB. Na ocasião fazíamos exercícios de revisão. Obrigado a todos que participaram (até de forma indireta) da construção desta ilustração.

Um grande abraço

Luís Cláudio LA

Limite, derivada e Integral passo a passo?

2010-07-16T16:43:00.014-03:00

Você sabia que é possível ver a resolução de uma integral passo a passo aqui na Web? No campo superior deste blog verá escrito: WolframAlpha e um campo à direita que chamaremos de CAMPO DE ENTRADA. Nesse campo você pode digitar várias entradas. Vamos a alguns exemplos.

Cálculo de limite

Suponha que um estudante pode estar diante do seguinte problema

$$\lim_{x\rightarrow 7}{\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}}$$

Para pedir que o Mathematica resolva esse problema basta digitar

limit( (sqrt(x+2)-3)/(x-7),x,7)

e apertar ENTER. Percebeu qual é a lógica da escrita? Qualquer coisa pergunte. Você será levado a um ambiente que lhe mostrará não só o limite mas também o aspecto gráfico da função no ponto limite além de outras informações. Verá no canto direito (da página que se abrirá) a opção SHOW STEPS. Clicando lá ele mostrará uma resolução passo a passo. Nesta resolução, em particular, ele usa a Regra de L'Hopital, que geralmente não é vista no momento que se trabalha com esse tipo de limite.

Clique em MAIS INFORMAÇÕES para ver o restante do artigo.

Para calcular limites envolvendo infinito é bem simples também. Por exemplo:

$$\lim_{x\rightarrow \infty}{x^2e^{-2x}}$$

Para pedir ao Mathematica que faça esse cálculo, digite no CAMPO DE ENTRADA acima:

limit(x^2*exp(-2*x),x,inf)

(Percebeu qual é a lógica? Qualquer coisa pergunte.) Note que haverá a opção SHOW STEPS disponível. Clique ali e verá a resolução passo a passo.

Cálculo de derivadas

Suponha que o estudante queira calcular a derivada da função $f(x)=x.\sin(x)$. Para isso, basta escrever no CAMPO DE ENTRADA acima:

diff(x*sin(x),x)

A opção SHOW STEPS novamente está disponível e sendo assim, ao clicar, verá derivada passo a passo, inclusive dizendo qual regra está usando em cada passo.

Cálculo de integrais

Suponha que se queira calcular a integral

$$\int x.\cos(x)dx$$

Para isso, escreva no CAMPO DE ENTRADA

integrate(x*cos(x),x) ou int(x*cos(x),x)

A opção SHOW STEPS estará disponível. Clique e veja a integral passo a passo. Para integrais definidas, como por exemplo:

$$\int_{0}^{\pi} x.\cos(x)dx$$

escreva no CAMPO DE ENTRADA:

integrate(x*cos(x),x,0,pi) ou int(x*cos(x),x,0,pi)

Outras opções

Nesse CAMPO DE ENTRADA é possível digitar N coisas diferentes. Por exemplo: digite o nome de sua cidade e aperte ENTER ou digite sua data de nascimento (em inglês, claro, como por exemplo o dia de hoje 38 anos atrás: july 16 1972). Veja mais exemplos clicando AQUI. Este aplicativo também está disponível para iPhone, iPad e e-Book. Veja mais detalhes AQUI. Eu tenho ele instalado em meu iPhone (custou U$ 1,99 salvo engano) e funciona muuuitooo bem. ;-)

Agora os professores é que devem ficar atentos. Não dá para deixar alunos fazendo prova de cálculo com iPhone ao lado. ;-)

Grande abraço
Luís Cláudio LA

SFTD (DTFS) para Octave/QtOctave e MATLAB

2010-07-15T14:37:00.020-03:00

A seguir mostramos um programa feito para O

O código mostrado a seguir foi feito em sala de aula com alunos do curso de Métodos Matemáticos para Engenharia do UniCEUB e pode ser colocado em um arquivo *.m que rodará tanto no Octave QtOctave - uma interface grárica) quanto no MATLAB. Ele mostra os Espectros de Magnitude e de Fase de um sinal x[n] com período N. O procedimento mostra ao final uma janela com os referidos espectros no intervalo [-N+1,N], ou seja, colocarmos o sinal com dois períodos fundamentais para que ficasse mais fácil a visualização.

Só lembrando do referencial teórico

Considere um sinal x[n] com período fundamental N (natural) então temos

$$x[n]=\sum_{k\in \left\langle N \right\rangle} X[k]e^{jk\Omega_0 n}$$
.
$$X[k]=\frac{1}{N}\sum_{n\in \left\langle N \right\rangle} x[n]e^{-jk\Omega_0 n}$$

onde $\Omega_0=\frac{2\pi}{N}$ e X[k] são os coeficientes de Fourier (complexos), $j^2=-1$ e

$$e^{j\Box}=\cos(\Box)+j.\sin(\Box)$$.

Quer ver mais? Clique em MAIS INFORMAÇÕES a seguir e veja todo o artigo.

O que o procedimento faz é simples. Você entrando com o sinal x[n] e o tamanho do período ele mostra X[k]. Como X[k] não é, necessariamente, real, mostramos o |X[k]| (Espetro de Magnitude) e o Arg{X[k]} (Espectro de Fase). Como trabalho de casa (valendo parte da nota da avaliação seguinte) os alunos deveriam fazer a volta, ou seja, dados os Espetros de Magnitude e de Fase de um sinal, mostrar o sinal x[n].

Como mencionado anteriormente é possível rodar o arquivo *.m tanto no Octave quanto no MATLAB.

No QtOctave (figura anterior) basta clicar no monitor preto entre o botão > e a seta para esquerda azul.

e no MATLAB (figura anterior) basta apertar a tecla F5.

Em ambos a resposta será como mostrado nas figuras seguintes, respectivamente, para o Octave e o MATLAB.

O código que geral esta saída está em azul logo a seguir. Naturalmente que % serve para comentar e que, naturalmente, o código pode ser melhorado.

Como em sala de aula, a volta fica como exercício e é relativamente fácil.

Grande abraço

Luís Cláudio LA

    clear;
    N=24;
    nn=1:N;
    Omega0=2*pi/N;
    x=1+sin(pi/12*nn+3*pi/8);
    Xr=zeros(1,N);
    Xi=zeros(1,N);
    EspMag=zeros(1,N);
    EspFase=zeros(1,N);

    for k=1:N
        for n=1:N
            Xr(k)=Xr(k)+1/N*cos(k*Omega0*n)*x(n);
            Xi(k)=Xi(k)-1/N*sin(k*Omega0*n)*x(n);
        end
    end

    for k=1:N
        if abs(Xr(k))<0.0001
            Xr(k)=0;
        end
        if abs(Xi(k))<0.0001
            Xi(k)=0;
        end
    end

    for k=1:N
         if Xr(k)~=0
            EspFase(k)=atan(Xi(k)/Xr(k));
        elseif (Xr(k)==0)&&(Xi(k)>0)
            EspFase(k)=pi/2;
        elseif (Xr(k)==0)&&(Xi(k)<0)
            EspFase(k)=-pi/2;
            else EspFase(k)=0;
        end
    end
    %stem(EspFase) %Mostra só o Espectro de Fase

    for k=1:N
        EspMag(k)=sqrt(Xr(k)^2+Xi(k)^2);
    end
    %stem(EspMag) %Mostra só o Espectro de Magnitude

    %% As quatro linhas seguintes mostram o espectro de magnitude e de fase
    %% em uma mesma janela Descomente para ver..

    %subplot(2,1,1);
    %stem(EspMag,)
    %subplot(2,1,2);
    %stem(EspFase)

    %Daqui para baixo é um "plus"; eu duplico o tamanho do sinal e peço
    %para ele plotar duas janelas e mostrar os dois gráficos juntos sendo que uma
    %cópia ficará na parte negativa. Assim vemos melhor o resultado.
    %Criei inicialmente o vetor Xr2 que representa o vetor Xr com o dobro de tamanho
    %Depois criei inicialmente o vetor Xi2 que representa o vetor Xi com o dobro de tamanho

    Xr2=zeros(1,2*N);
    Xi2=zeros(1,2*N);

    for k=1:N
        Xr2(k)=EspMag(k);
        Xi2(k)=EspFase(k);
    end

    for k=N+1:2*N
        Xr2(k)=EspMag(k-N);
        Xi2(k)=EspFase(k-N);
    end

    subplot(2,1,1);
    stem(-N+1:N,Xr2)
    subplot(2,1,2);
    stem(-N+1:N,Xi2)

    %fim

Como inserir símbolos matemáticos em seu blog (blogspot)?

2010-07-14T17:13:00.027-03:00

Olá... Eu demorei um pouco para encontrar uma forma de escrever textos matemáticos em meu blog e para que não precise percorrer o mesmo caminho que eu aqui vai o caminho das pedras. Um detalhe adicional: esse que apresento a seguir já é o terceiro código.

1) Copie o código em azul (Ctrl+C)

---

MathJax.Hub.Config({

extensions: ["tex2jax.js","TeX/AMSmath.js","TeX/AMSsymbols.js"],

jax: ["input/TeX", "output/HTML-CSS"],

tex2jax: {

inlineMath: [ ['$','$'], ["\$","\$"] ],

displayMath: [ ['$$','$$'], ["\\[","\\]"] ],

"HTML-CSS": { availableFonts: ["TeX"] }

});

</script>

---

Fonte: AQUI.

2) Faça o login e clique em DESIGN (canto direito superior). Alternativamente, se já estive dentro do ambiente de administração, clique em PAINEL (e depois em DESIGN do blog que quer editar - no caso de haver mais de um).

Clique em MAIS INFORMAÇÕES caso queira ver o restante das instruções.

3) Clique em ADICIONAR UM GADGET e na nova janela que aparecerá escolha a opção HTML/JavaScript.

4) Uma nova janela aparecerá. Cole o código copiado no passo 1 como mostra a figura seguinte. No campo título escreva o que quiser e clique em SALVAR.

Pronto. O seu blog (aqui no blogspot) está pronto para escrever textos em LaTeX.

Você pode escrever colocando o texto latex entre dois cifrões e o código LaTeX entre eles. Veja um exemplo se digitar cifrão \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!} cifrão terá como resultado $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ (na mesma linha). Se digitar cifrãocifrão \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!} cifrãocifrão terá como resultado o mesmo $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$, mas no modo displaystyle.

Divirta-se!!!

Em tempo: você precisa conhecer a sintaxe LaTeX. Caso contrário não conseguirá trabalhar com esses símbolos. É bem simples e lógico.

Fonte:
http://watchmath.com/vlog/?p=1244
http://watchmath.com/vlog/?p=438

inserir latex blogspot blog simbolo símbolo matemático blog

Diário de viagem - 09/07/2010 - Sexta

2010-07-14T13:52:00.016-03:00

Dia 9 de julho, 6a feira, foi o nosso último dia em Salvador. Nossa diária vencia as 13h e queríamos tomar um banho antes de viajar. Felizmente o pessoal do hotel concordou em fecharmos a conta as 15h. Bacana da parte deles. Fomos de ônibus até a UCSAL onde ficaríamos o dia todo. Nesse dia tivemos algumas visitas ilustres como o prof. IMENES, autor respeitado de livros didáticos pela editora Moderna. Uma pessoa muito amável com quem trocamos algumas idéias bacanas.

Nesse dia estava marcado um sorteio de um NetBook pela editora que ocorreu por volta das 10h30. Ficamos felizes por uma professora ganhar o aparelho. Essa felicidade tem um motivo: não vinculamos o preenchimento do folder para concorrer ao aparelho à compra do livro e assim houve muitas pessoas que preencheram que não eram professores como: motorista do ônibus, os próprios atendentes lá do centro de convençoes e outros. Por isso ficamos contentes que quem tenha ganhado tenha sido uma professora.

Depois do sorteio, ficamos atendendo aos professores que nos procuravam interessados em nosso trabalho. Depois do almoço ainda ficamos mais um tempo em nosso stand atendendo a professores de todo o Brasil e ainda tivemos mais alguma visitas ilustres como o presidente da SBEM, o Humberto Bostolossi, um parceirão com quem vamos trabalhar muito ainda com esse trabalho já aparecendo agora no segundo semestre de 2010.

Passado tudo isso, fomos ao hotel tomar um banho e fechar a conta e logo em seguida seguimos para o aeroporto. Nossa passagem estava marcada para as 19h, mas conseguimos embarcar as 18h chegando em Brasília às 19h45. O vôo foi tranquilo.

Resumindo, a viagem foi, do ponto de vista profissional, muito boa. Fizemos vários contatos e cada livro vendido foi como uma sementinha plantada. Vamos regar essa sementinha para que ela dê frutos agora.

Se você é professor(a) e quiser conhecer um pouco de nosso trabalho nos escreva. Teremos prazer em falar com você. O nosso livro você pode comprar acessando o link: www.geogebra.com.br/livro

J.Cássio: jcassio@geogebra.com.br ou jcassio@gmail.com

Luís Cláudio LA: luisclaudio@geogebra.com.br

ou luisclaudio.mat@gmail.com

Um grande abraço

Luís Cláudio LA

Em tempo: um agradecimento especial às professoras Verônica, Tereza, Vilmara e Elehn pela força.

Diário de viagem - 08/07/2010 - Quinta

2010-07-14T12:35:00.006-03:00

Quinta feira, dia 8 de julho. Nesse dia o X ENEM ficou quebrado em dois momentos. Um primeiro na UCSAL (Univerisidade Católica de Salvador) e um segundo no centro de convenções. Para ir para a UCSAL usamos mais uma vez o taxi, mas o taxista não tentou nos extorquir. Foi até muito bacana. Não quis cobrar pelo ar condicionado pois ele também usufruía e como ele não acertou de primeira o lugar onde estava a Universidade ele ainda cobrou menos pela corrida. Foi a segunda pessoa legal que vi na cidade. Chegando na Universidade vimos que nosso stand estava lá, mas nenhuma editora havia ido para lá e como só levamos 9 livros apenas esperamos o tempo passar e ficamos à disposição das pessoas que passavam por lá. Aproveitávamos para discutir algumas coisas com os professores. Na foto ao lado falávamos sobre o conceito de reta diametral para curvas cônicas.

No período da tarde iríamos para o Centro de Convenções novamente e quando deu a hora lá fomos nós para o ônibus. Os meninos queriam almoçar em um local onde desse menos tumulto e tivesse uma boa comida. Felizmente o ônibus estava à nossa espera e lá fomos nós procurar um bom restaurante. Nos sugeriram um chamado Yemanjá (não sei se escreve assim). Pedimos uma muqueca de peixe e camarão, mas... Vejam só que coisa. Quando nos sentamos à mesa, trouxeram de cara uns pães e algumas pastas. Até aí tudo bem. Pensamos... Deve ser cortesia da casa... Perguntamos: esses pães são cortesia ou teremos que pagar por eles? Qual não foi nossa surpresa quando disseram que tinham que pagar. Ora, mas não pedimos aquilo. Como trazem alguma coisa para a minha mesa sem que eu peça e ainda me cobram? A Muqueca que veio em uma espécie de paleninha de barro custou R$ 95,00 (fora os 10% que acho outro absurdo). Felizmente a comida estava boa.

Saindo de lá voltamos para o Centro de Convenções e a exemplo do dia anterior, o livro continuava um sucesso. Vários professores importantes no cenário nacional passaram por lá para ver o nosso trabalho. A professora que aparece na foto ao lado é da UnB (Universidade de Brasília) e eu a conheço (de vista) desde a época do Mestrado e Doutorado.

Vários outros nos visitaram.

Um grande abraço
Luís Cláudio LA

Diário de viagem - 07/07/2010 - Quarta

2010-07-12T10:32:00.005-03:00

Quarta feira, dia 7 de julho foi o dia em que o evento realmente começou. Fomos para o Centro de Convenções as 7h da manhã e chegando lá vimos que não havia internet sem fio. Bom, o natural é então pedir para ligar o Wireless e qual não foi nossa surpresa quando eles falaram em cobrar pela conexão. Fala sério. Nem o ar dá para dizer que era de graça pois no dia anterior queriam cobrar 20% de nós. Felizmente depois de um tempo fizeram o sensato: liberar a rede wireless.

Montamos o ambiente para divulgação do livro Aprendendo Matemática com o GeoGebra, livro escrito por mim e pelo J.Cássio.

O livro foi muuuitooo bem aceito pela comunidade de professores de todo o Brasil. Houve um momento logo após o almoço que ficamos apenas eu e o Jorge no stand de divugação e não estávamos dando conta de atender a tantos professores. Espero que eles gostem do que escrevemos e mantenham contato conosco. É a primeira vez que eu faço algo que aparentemente dá certo. Nunca fui bom nem em vender laranjinha (din din).

Mais a noite houve um momento de autógrafos e lá estávamos nós em mais um momento importante na divulgação do livro. Tivemos contato com professores de todo o Brasil e foi muito bacana todos esses momentos. Nesta mesma noite aconteceria a Micarê ENEM, mas estávamos todos muito cansados e optamos por dormir. Me disseram que foi muito bom, mas eu não fui.

Grande abraço

Luís Cláudio LA

Diário de viagem - 3a feira, 6 de julho - noite

2010-07-12T10:07:00.006-03:00

Segunda feira, 5 de julho de 2010. Passei trabalhando na finalização das notas do UniCEUB e a noite fomos para um lugar chamado Caranguejo do Sergipe. Para chegar lá pegamos um taxi e como estava quente indagamos o motorista sobre o ar condicionado. Eis que ele disse que para ligar o ar condicionado se acrescentava mais 20% ao preço da corrida. Eu não me lembro de ter visto isto em cidade nenhuma até hoje. Além disso o carro foi em bandeira 2, segundo ele porque éramos três.

Chegando ao tal Caranguejo do Sergipe entramos eu o Jorge e o João. Nos sentamos em uma mesa e pedimos o prato da casa: caranguejo. Eu nunca tinha comido o bicho e até achei que era comestível, mas foi muito trabalho para pouco resultado (carne), mas valeu pela experiência. Depois de um tempo uma moça loira de vestido vermelho (curtíssimo) veio nos dizer que seria cobrado R$6,00 de couver artístico, mas... havia um problema. Não havia artista nenhum cantando. Diz ela que havia um DJ lá dentro do restaurante controlando as músicas que tocavam. O volume era muito alto com muita música do tipo "bate estaca" e não via a mão de ninguém ali. Nada diferente de um CD que se compra em qualquer esquina. Chamamos o responsável e dizemos a ele que não pagaríamos por couver artístico para um CD que estava tocando. Depois de muita discussão eles concordaram com o que era óbvio: não cobrar.

Nesse momento perdi o gosto porque me sentia como uma presa onde todos naquela cidade olhavam e ficavam pensando "como é que vou fazer para arrancar uma grana desse cara?" e eu disse isso ao responsável lá no Caranguejo do Sergipe. Fala sério. Eu sou turista lá e penso que o mais natural era me tratar bem para que eu voltasse àquela cidade, mas eu só volto lá a trabalho. Para passeio JAMAIS.

Deixei o Jorge e o João lá e voltei para o hotel. O taxista da volta até que era uma pessoa sensata. Até pequei o telefone dele para uma outra vez que for lá já ligar para ele direto. Ele disse que cobraria R$45,00 do hotel no aeroporto o que é bem menos dos quase R$80,00 que me cobraram quando cheguei, mas parte da culpa foi minha por ter pego o primeiro taxi que apareceu. Quem for lá, aprenda a lição. Não peque o primeiro. Busque por um taxi comum.

Grande abraço

Luís Cláudio LA

X ENEM

2010-07-06T11:21:00.000-03:00

Cá estou em Salvador na Bahia (lógico) para participar do X ENEM onde entre outras coisas farei junto com o Jorge Cássio o lançamento de nosso livro Aprendendo Matemática com o GeoGebra. O vôo foi remarcado para 22h. Chegamos ontem por volta de 23h45 após sair de Brasília 22h e alguns minutos. A viagem foi tranquila e vim com o Jorge e o João. Algo que me chamou a atenção na chegada foi que me senti meio extorquido quando não havia opções para taxi (até onde vi uma cooperativa). O taxi não tinha taxímetro e me cobraram R$ 77,00 para vir do aeroporto ao hotel. Se soubesse disso, tinha alugado um carro ao invés de pagar um taxi.

Minha impressão na cidade não foi das melhores. Chegando ao hotel por volta de 0h30 o balconista quase que não acha a nossa reserva o que deixou também uma má impressão pois passou a ideia de desorganização. Além disso ele cobrou uma diária completa. Não gostei do atendimento.

Eu acabei deixando para pagar a inscrição no evento aqui (din din estava pouco - e ainda está) e o que era R$ 200,00 agora já passou a ser R$ 300,00. Tem lógica? Pagar esse preço para participar de um evento envolvendo Ensino de Matemática? Pessoal acha que dinheiro cresce como folha de árvore. Fazer o quê? Paguei e agora tenho que pegar o comprovante de pagamento no banco para levar lá.

O iPhone está sendo uma mão na roda. além de mandar notícias para o Twitter eu ainda consegui me localizar na cidade (google maps do iPhone) e daqui consegui saber onde fica o Banco do Brasil mais próximo e até que distância e quanto tempo vou gastar para chegar lá. Depois conto se deu tudo certo. Também consegui localizar o Centro de Convenções e pude saber que andando gastarei 35min em uma distância de 2,5km do hotel. Irei lá mais tarde. Espero que o comprovante de pagamento.

Agora tenho que voltar para o fechamento de notas do UniCEUB para que pela parte da tarde possa ir para o Centro de Convenções.

Um grande abraço

Luís Cláudio LA

Uma ilustração sobre a Lei dos Senos com o GeoGebra

2009-06-21T17:00:00.073-03:00

O GeoGebra é um software fantástico. Ele permite trabalhar com os mais diversos assuntos permitindo visualização com uma qualidade impressionante. A versão 3.2 está ainda melhor com vários recursos novos. Você pode baixar o programa (que é gratuito) em:

Nestas breves notas eu me proponho a falar sobre o uso do software para estudar a lei dos senos e os cuidados que devemos ter a respeito de demonstrações. O software ilustra muito bem, mas ele prova alguma coisa?

Veja com o software pode ajudar o aluno a perceber o que diz a lei dos senos. Diz esta lei que para qualquer triângulo ABC a medida de um lado dividido pelo sendo do ângulo que é oposto a este é igual não importa qual lado você toma e o resultado da divisão é sempre igual ao dobro do raio "R" da circunferência que circunscreve o triângulo.

Em outras palavras o que este resultado diz é que:

$$\frac{a}{\sin(\hat{A})}=\frac{b}{\sin(\hat{B})}=\frac{c}{\sin(\hat{C})}=2R$$

Clique em MAIS INFORMAÇÕES para ver o restante do artigo.

Note que com palavras isto não diz muito a alguém que está vendo pela primeira vez isto. Entretanto, se este aluno puder ver uma ilustração mostrando isto gravará mais facilmente o resultado (penso eu). Veja um exemplo (clique na imagem para vê-la ampliada).

Agora imagine se ele (ou você) pudesse agarrar um dos vértices e arrastar e automaticamente esta ilustração puder ir sendo atualizada... Isto é o queo GeoGebra permite que se faça... Visualizar centenas de ilustrações em alguns segundos e observar o sentido do que está estudando... A imagem que vê abaixo (se ela já carregou) é uma imagem dinâmica gerada pelo GeoGebra. Clique sobre um dos vértices e arraste-o. O que pode ver com o texto dinâmico? Imagine seu aluno vendo isto. O que você acha quanto à compreensão do que diz a Lei dos Senos. O texto acima diz o mesmo que a imagem abaixo. Sem dúvidas ele irá lembrar da imagem, concorda?

Sinto muito, o Applet GeoGebra Applet não pode ser iniciado. Por favor certifique-se que possui o Java 1.4.2 (ou superior) instalado e ativo em seu navegador (Click here to install Java now)

Esta figura não é estática. Clique e arraste um dos vértices

Entretanto, não devemos esquecer que imagem não prova nada. Ela apenas ilustra. Softwares como o GeoGebra devem ser usados em sala de aula, mas não como mecanismo de demonstração pois ele não demonstra nada. Apenas ilustra.

Este mesmo software pode ser usado para conduzir o estudante para a demonstração deste resultado. Abaixo há uma pequena modificação no arquivo acima e foi preparado para que o aluno percebe o caminho da demonstração. Obs.: na figura seguinte, clique e arraste um dos vértices do triângulo e observe as relações entre os objetos.

Sinto muito, o Applet GeoGebra Applet não pode ser iniciado. Por favor certifique-se que possui o Java 1.4.2 (ou superior) instalado e ativo em seu navegador (Click here to install Java now)
Esta figura não é estática. Clique e arraste um dos pontos azuis.

Veja como pode ser a condução:

"O" é o centro da circunferência e CD é diâmetro. Isto implica que CDB é retângulo em C.
"A" e "D" têm a mesma medida por estarem em uma circunferência e determinarem o mesmo arco BC

Calculando o seno do ângulo em D encontraremos

$$\sin(\hat{D})=\frac{a}{2R}$$

e já que o ângulo em D tem a mesma medida que o ângulo em A

$$\sin(\hat{A})=\frac{a}{2R}$$

de onde vem que

$$\frac{a}{\sin(\hat{A})}=2R$$

Refazendo este raciocínio mas considerando os outros pontos B e C encontraremos que

$$\frac{b}{\sin(\hat{B})}=2R$$ e $$\frac{c}{\sin(\hat{C})}=2R$$

de onde vem a fórmula conhecida:

$$\frac{a}{\sin(\hat{A})}=\frac{b}{\sin(\hat{B})}=\frac{c}{\sin(\hat{C})}=2R$$

Para finalizar...

Algumas idéias que foram usadas deverá fazer parte do conhecimento prévio. Não é possível que o aluno nunca tenha visto uma demonstração e você queira demonstrar tudo o que usar... O que imagino ser sensato é o aluno ir vendo as demonstrações desde o inicio (6a série, 7a, 8a...). Assim, em algum momento ele já teria visto que ângulos inscritos sob o mesmo arco possuem a mesma medida, que o ângulo inscrito é metade do ângulo central, que um triângulo inscrito em uma semi-circunferência é retângulo etc...

Vou finalizar então com uma (ou duas) pergunta(s): como você poderia fazer para ilustrar a seguinte identidade trigonométrica:

$$\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}$$

Isto é verdade? O software irá fornecer uma ilustração bem convincente, mas... Isto é verdade por quê?

São perguntas que penso que o aluno deve fazer. Não se deve aceitar o que alguns casos particulares lhe indicam...

E se fosse assim:

$$\sin^2(x)=\frac{1+\sin(2x)}{2}$$

Seria isto verdade? O que eu precisaria para mostrar que a afirmação é falsa? Tudo isso são exemplos que podem ser discutidas com alunos.

Volto a insistir que haverá situações onde a demonstração não será tão simples, mas penso que mesmo que não faça a demonstração, deixe claro que o que ele vê é uma ilustração.

Eu tenho um exemplo interessante sobre aceitar o que se vê sem questionamentos, mas isto fica para uma postagem futura...

Um grande abraço a todos

Luís Cláudio LA

Obs.: a última afirmação não é verdadeira. O que vale é

$$\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}$$

A história do número 1

2009-02-28T14:01:00.004-03:00

O vídeo a seguir conta a história do número 1. Na verdade ele fala da evolução dos números até os dias de hoje. É algo interessante de se ver.

Grande abraço
Luís Cláudio LA

Demissão de professor de inglês provoca polêmica

2009-02-23T23:50:00.013-03:00

Ele foi acusado de fazer apologia ao homossexualismo em sala de aula.

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Bom, para quem não conseguiu ler o que estava escrito na faixa porque passou muito rápido, lá está escrito: nós estamos felizes com você aqui (ou algo parecido).

Sobre a música referida, a reportagem não fala qual é, então vamos buscar. A letra da música você pode ver aqui:
http://letras.terra.com.br/katy-perry/1233442/

E um clip da famigerada pode ser vista logo abaixo.

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Para ver o restante desse artigo, clique em MAIS INFORMAÇÕES.

Opinião do Luís Cláudio LA.

A verdade é que não sabemos o que cantamos. As músicas fazem sucesso aqui pelo ritmo e não pelas letras. É uma hipocrisia esse falso moralismo. Que percentual da população se preocupa com o que as letras das músicas dizem? Aí vão dizer: "mas na escola não pode falar disto". Talvez não em uma aula de inglês, mas em uma aula especialmente criada para mostrar que atrás do ritmo bonitinho há uma letra e que talvez seja interessante saber o que diz estas letras.

Há uma música cujo nome é: Sympathy For The Devil (Simpatia pelo Demônio).

Veja o vídeo com esta música logo abaixo:

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Esta música fez parte da trilha sonora de uma novela chamada Celebridades (e outras também). Veja a letra da música traduzida e no original:
http://manassesqueiroz.blogspot.com/2006/03/simpatia-pelo-demnio.html

Vê-se muitas pessoas cantarolando tal música (e como ela existem outras), mas quantos se preocupam com o que está dizendo a música? Em minha opinião o prof. foi infeliz ao levar a música I Kissed a Girl para se estudar verbos, mas penso que músicas como estas e a Sympathy For The Devil devem sim serem levadas às salas de aulas para que os estudantes vejam o que eles estão cantando. Poderia ser algo do tipo momento de saber o que você canta ou algo do gênero.

Por que não? A propósito, esta música do Mick Jagger Sympathy For The Devil pode ser usada até em uma aula de história, já que faz referência a vários acontecimentos da história recente. Acho que isto nem se encaixa nas chamadas mensagens subliminares.

Resumindo. Penso que este tipo de música deveria ser levado SIM para os alunos. Talvez não em uma aula inocente de inglês onde têm-se por objetivo estudar verbos, mas em um momento especial que faria com que ele tomasse consciência do que ele canta.

Para finalizar, há músicas e músicas, letras e letras. Como exemplo eu cito uma música chamda White Dove do grupo Scorpions onde a sua letra é interessante e faz com que reflitamos sobre algo importante.

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Um grande abraço a todos

Luís Cláudio LA

O número Phi

2008-04-22T14:18:00.003-03:00

Gostaria que vissem esses dois vídeos... São bem interessantes. Sugiro que esperem carregar o vídeo completamente primeiro.

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Teste Cerebral?

2007-09-22T08:18:00.006-03:00

Observe a imagem abaixo e diga para que sentido ela gira. Horário ou anti-horário? :-o

Recebi um email de um aluno com este teste. Eu achei ele interessante e por isto coloco aqui. Entretanto, gostaria de dizer que não chequei a fonte, ou seja, não sei se realmente este teste saiu na Folha de Informática do Jornal O Globo. Pelo menos quanto a mim, acho que o lado lógico de meu cérebro está morto pois só vejo essa mulher girar em um sentido.

Agora, tirem suas próprias conclusões ;-)

Grande abraço ;-)

Estudo de sinais de uma função afim

2007-08-31T13:29:00.001-03:00

Sinal de uma função afim

Enquanto o Applet abaixo é carregado, veja o que ele lhe mostrará. A questão de estudo de sinal de uma função afim é ferramenta para resolução de outros problemas e entender o que se está escrevendo é importante.

Para estudantes a palavra é EXPLORAR. Clique sobre o PONTO SOBRE O EixoX que está sobre o EixoX. Observe o que ocorre quando se está com xraiz. O que pode dizer sobre a imagem (é marcada com o ponto verde sobre o EixoY) deste ponto? Quando conseguir responder a esta pergunta, saberá estudar o sinal de uma função. O recurso é só para ajudar o estudante a entender o conceito dando vida (movimento) ao conceito.

Aos colegas professores (e alunos) a pergunta é: esse tipo de recurso, ajuda no aprendizado? Faz diferença o uso de recursos computacionais em sala de aula (ou laboratórios)? Certo é que é necessário haver direcionamento. Dar um cd com um software para os alunos e professores não minimizará o problema do aprendizado em matemática.

Acredito que que não exista uma única variável nesta questão de ensinar e aprender matemática. Outras variáveis são: comprometimento, vontade de aprender etc. mas isto é uma outra história para um outro momento.

Aproveite o recurso que já deve ter carregado.

Sinto muito, o Applet GeoGebra Applet não pode ser iniciado. Por favor certifique-se que possui o Java 1.4.2 (ou superior) instalado e ativo em seu navegador (Click here to install Java now)

Funções Afins

2007-08-31T08:02:00.001-03:00

Para estudantes a palavra é EXPLORAR. Depois que o Applet for carregado abaixo, clique sobre os pontos que modificam os valores de a e b que estão sobre os seletores e observe o que ocorre. A partir da observação tente assimilar o que ocorre com relação a

Relação entre o "b" da forma genérica f(x)=ax+b e o local onde o gráfico cruza com o EixoY. Qual é a coordenada deste ponto?

Qual é a relação entre o termo a da forma genérica f(x)=ax+b e o fato da função ser CRESCENTE ou DECRESCENTE. Tente descobrir a resposta explorando o Applet abaixo.

Você vê que x=-b/a mostra o local onde o gráfico cruza com o EixoX. Tente entender o porquê.

Para os colegas professores (e alunos) a pergunta é: ESSE TIPO DE RECURSO AJUDA NO APRENDIZADO?

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Resumo sobre funções quadráticas

2007-08-31T01:55:00.002-03:00

Olá...

Vamos a mais um teste com os Applets do GeoGebra neste Blog. Enquanto o Applet carrega abaixo, alguns pontos que deverá observar:

Modifique o valor de "a" e se convença que se o a>0 a parábola é convexa (concavidade voltada para cima) e se a<0 é côncava (concavidade voltada para baixo)

Qual é a relação entre o sinal do número DELTA e a existência de raízes?

Qual é a relação entre o valor de "c" e o local onde o gráfico cruza com o EixoY?

Formular mais perguntas depois...

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Por que as abelhas constroem seus favos com a forma de um hexágono regular?

2007-08-31T01:26:00.001-03:00

Olha só que interessante este vídeo. O assunto poderia se tema de um trabalho de escola onde os alunos apresentariam um porquê semelhante ao que há neste vídeo.

A Matemática das Abelhas

Aproveito esse post para testar a inserção de applets do GeoGebra neste blog. Se funcionar poderemos inaugurar uma nova era de Blogs. Para que veja o Applet, precisará que seu computador esteja equipado com uma máquina virtual Java (antigo JVM). É comum na maioria dos computadores. Para este que aparece abaixo, clique no ponto sobre o seletor e movimente-o.

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